Цензурированная модель (tobit-модель)

Для описания зависимости цензурированной переменной y_t от влияющих на нее факторов обычно используется так называемая tobit - модель.

Tobit - модель исходит из того, что цензурированная переменная y_t описывается следующим выражением:

y_t = a ¢× x _t + e_t. (10.159)

где y_t – наблюдаемые значения зависимой переменной (например, либо фактические расходы на отдых за границей, либо 0); x _t – вектор независимых переменных, влияющих на зависимую переменную y_t, a – вектор параметров; e_t – ошибка модели.

Далее tobit - модель предполагает, что цензурированным значениям y_t (т. е. y_t =0; b =0 – точка цензурирования) соответствует неположительное произведение a ¢× x _t (a ¢× x _t £0); а нецензурированным значениям y_t – положительное (a ¢× x _t >0).

Из выражения (10.159) следует, что условное математическое ожидание переменной у_t по факторам x _t определяется как

M [ у_t ]= a ¢× x _t. (10.160)

Математическое ожидание у_t с учетом цензурирования (т. е. M [ у_t ^цен]) для точки цензурирования b =0 определяются следующим образом (см. выражение (10.154)):

где

В соответствии с выражением (10.160) маржинальные эффекты факторов x _t для математического ожидания переменной у_t (без учета цензурирования) определяются как

В соответствии с выражением (10.161) маржинальные эффекты факторов x _t для математического ожидания переменной у_t с учетом цензурирования могут быть представлены в следующем виде:

Заметим, что tobit -модель предполагает, что изменение факторов x _t приводит к тому, что вероятность P (y_t >0) и математическое ожидание М (y_t | y_t >0) обязательно меняются в одинаковом направлении. Действительно, согласно выражению (10.156) вероятность того, что у_t >0 определяется как

P (у_t >0) =P (a ¢× x _t >0)=F(a ¢× x _t / s). (10.165)

Соответственно маржинальный эффект факторов x _t для вероятности P (у_t >0) может быть представлен в следующем виде:

¶ P (y_t >0)/¶ х _t = j (a ¢× x _t)× a. (10.166)

Если коэффициент a_i положителен, то согласно выражениям (10.164) и (10.166) с увеличением фактора х_it (i =1,2,..., n; t =1,2,..., T) увеличивается как математическое ожидание М (y_t | y_t >0), так и вероятность P (y_t >0), и, наоборот, при отрицательном a_i с ростом фактора х_it эти показатели уменьшаются.

Вместе с тем заметим, что эффект одновременного увеличения математического ожидания и вероятности при увеличении некоторого независимого фактора х_i на практике может и не иметь место. В частности, как показали Фин и Шмидт (Fin and Schmidt, 1984), независимая переменная х_i, увеличивающая вероятность нецензурированного наблюдения (P (y_t >0)), не всегда увеличивает и математическое ожидание переменной (М (y_t | y_t >0)). В качестве примера они приводят потери от пожаров в зданиях. Вероятность возникновения пожара в старом здании выше, следовательно ¶ P (y_t >0)/¶ х_it >0 (х_it – возраст t -го здания), но так как старое здание стоит дешевле, то и пожар в нем приносит меньше убытков, т. е. ¶ М (y_t | y_t >0)/¶ х_it <0. Таким образом, в данной задаче предполагается, что коэффициент a_i при факторе “возраст здания” имеет разные знаки в функциях вероятности и математического ожидания. В рамках tobit -модели это учесть невозможно.

Для описания процессов, в рамках которых предположение об одинаковом характере маржинального эффекта математического ожидания и вероятности не выполняется, была предложена более общая модель, являющаяся сочетанием одномерной probit -модели и усеченной регрессии (для нецензурированных значений зависимой переменной).

На основе probit -модели определяется вероятность нецензурированного (или цензурированного) наблюдения при данном наборе факторов x _t.

P [ у_t >0]=F(g ¢ x _t); z_t =1,

P [ у_t =0]=1–F(g ¢ x _t); z_t =0, (10.167)

где F(g ¢ x _t) – интегральная функция закона нормального распределения, определяющая вероятность нецензурированного наблюдения; g – вектор параметров модели, z_t – переменная-индикатор, принимающая значение 1 для нецензурированного наблюдения и значение 0 – для цензурированного.

Далее на основе модели усеченной регрессии определяется математическое ожидание нецензурированного наблюдения. В соответствии с выражением (10.150) математическое ожидание нецензурированной переменной может быть представлено в следующем виде:

M [ у_t | z_t =1]= a ¢ x _t + s × l_t. (10.168)

Заметим, что если g = a / s, то модель (10.167)–(10.168) сводится к tobit -модели.