Поняття про показники варіації і способи їх обчислення

Середні величини мають велике теоретичне і практичне значення, вони дають узагальнюючу характеристику сукупності за варіаційними ознаками, виражають типовий, для даних умов, рівень цих ознак. Проте для характеристики досліджуваних явищ одних тільки середніх величин недостатньо, оскільки, за однакових значень середньої величини, різні сукупності можуть суттєво відрізнятись одна від одної за характером варіації величини досліджуваної ознаки.

Середні величини не виражають індивідуальних особливостей досліджуваної сукупності, які породжують варіацією ознаки її окремих елементів, тому їх потрібно доповнювати показниками, що характеризують коливання значень ознаки в сукупності.

Варіацією в статистиці називаються коливання ознаки в одиницях сукупності, а показники, що характеризують ці коливання, називаються показниками варіації. Вони показують як розміщуються навколо середньої окремі значення осереднюваної ознаки.

Розглянемо приклад. Маємо дані про продуктивність праці працівників у двох бригадах:

Таблиця 6.3 – Продуктивність праці працівників

Порядковий номер працівника	Вироблено деталей за зміну, шт.
І бригада	ІІ бригада
Разом:

Середня продуктивність праці у двох бригадах однакова.

шт., шт.

Проте, коливання продуктивності праці працівників у першій бригаді значно більше, ніж у другій. Отже, друга бригада працює ритмічніше, ніж перша.

Для вимірювання варіації у статистиці використовують такі показники, як: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середній квадрат відхилення (дисперсія), середнє квадратичне відхилення і коефіцієнт варіації.

Розмах варіації (R)являє собою різницю між найбільшим і найменшим значенням ознаки.

R = х _max – х _min,

де R – розмах варіації;

x _max – максимальне значення ознаки;

x _min – мінімальне значення ознаки.

У даному прикладі розмах варіації:

для першої бригади R ₁ =190 – 10 = 180 шт.;

для другої бригади R ₂ = 120 – 80 = 40 шт.

Розмах варіації простий для обчислення, але він відображає лише крайні значення ознаки і не дає уяви про ступінь варіації усередині сукупності.

Середнє лінійне відхилення являє собою середню арифметичну з абсолютних значень відхилень окремих варіантів від середньої арифметичної.

Середнє лінійне відхилення – величина іменована (має одиницю вимірювання) визначається за формулами:

а) середнє лінійне відхилення просте

б) середнє лінійне відхилення зважене

Обчислимо середнє лінійне відхилення для даного прикладу:

Таблиця 6.4 – Обчислення середнього лінійного відхилення

Табельний номер працівника (n)	І бригада	ІІ бригада
Виготовлено деталей за зміну, шт. (х 1 і )		Виготовлено деталей за зміну, шт. (х 2 і )
Разом:

шт., шт.

Отже, кількість вироблених деталей за зміну окремими працівниками відрізняється від середньої в першій бригаді в середньому на 86 шт., а в другій – в середньому на 12 шт. Таким чином, середнє лінійне відхилення за виробництва деталей за зміну в першій бригаді у 5,7 разів більше, ніж у другій.

Середній квадрат відхилення або дисперсія (σ²)визначається як середня арифметична з квадратів відхилень окремих варіантів від їх середньої.

У залежності від вихідних даних, дисперсію обчислюють за формулами:

а) дисперсія проста:

б) дисперсія зважена:

Середнє квадратичне відхилення (σ) являє собою корінь квадратичний з дисперсії.

Воно визначається за формулами:

а) середнє квадратичне відхилення просте:

б) середнє квадратичне відхилення зважене:

Середнє квадратичне відхиленняназивають стандартним відхиленням. Воно, як і середнє лінійне відхилення, є іменованою величиною. Середнє квадратичне відхилення використовують при оцінці тісноти зв’язку між явищами, при обчисленні помилок вибіркового спостереження, дослідженні рядів розподілу та ін.

Для нормального або близького до нормального розподілу між середнім квадратичним і лінійним відхиленнями установлено таке співвідношення:

σ = 1,25

Середнє квадратичне відхилення не завжди зручне для використання, тому що воно не дозволяє порівнювати між собою середні квадратичні відхилення у варіаційних рядах, варіанти яких виражені у різних одиницях вимірювання.

Щоб мати можливість порівнювати середні квадратичні відхилення різних варіаційних рядів, потрібно перейти від абсолютних до відносних показників варіації.

До числа відносних показників відносять коефіцієнти варіації:

а) лінійний

б) квадратичний

в) осциляції

Відносні показники вимірюють інтенсивність коливаємості ознаки. Найчастіше використовується квадратичний коефіцієнт варіації.

Прийнята наступна оцінна шкала для оцінки коливання ознаки:

– сукупність однорідна;

– ознака коливається незначно;

– ознака коливається помірно;

– ознака коливається значно;

– для нормальних і близьких до них значення коефіцієнта варіації слугує індикатором однорідності сукупності.

Якщо коефіцієнт варіації менше або дорівнює 33 %, то сукупність є однорідною і середня величина є надійною, типовою характеристикою в даній сукупності.

Розглянемо обчислення вищенаведених показників варіації на прикладі. Фірма оголосила конкурс і розподілила претендентів з досвіду роботи. Розрахувати показники варіації. Маємо наступні дані.

Таблиця 6.5 – Розрахунок показників варіації

Група кандидатів з досвіду роботи, років	Число кандидатів, чол.	Середина інтервалу,	Розрахункові графи
до 4-х				4,2		17,64	176,40
4-6				2,2		4,84	48,40
6-8				0,2		0,04	2,00
8-10				1,8		3,24	64,80
10 – і більше				3,8		14,44	144,40
Разом:		×		×		×	436,00

Розмах варіаціїдорівнює:

R = х _max – х _min= 12 – 2 = 10 років.

Для визначення середнього досвіду роботи кандидатів, використовуємо формулу середньої арифметичної зваженої:

роки.

Обчислимо середньо лінійне відхилення за формулою для зважених:

роки.

Абсолютне відхилення кожного досвіду роботи кандидата від середнього досвіду роботи складає 1,48 роки.

Обчислимо дисперсію. Зазначимо, що дисперсія завжди величина безрозмірна:

Обчислимо середньо квадратичне відхилення:

роки.

Середнєвідхилення від середньої величини групи кандидатів з досвіду роботи відхиляється в той або інший бік на 2,1 роки.

Обчислимо відносні показники варіації:

а) лінійний

б) квадратичний

в) осциляції

Як бачимо σ > (2,1 > 1,48); (29,9 >20,55).

Обчисливши коефіцієнти варіації, розуміємо, що сукупність є однорідною і середня величина є надійною типовою характеристикою в даній сукупності.