Геометричні й оптичні умови фототрансформування

Знімок, як відомо, докорінно відрізняється від карти тому, що він несе дуже багато інформації. Тільки одного погляду на аерофотознімок достатньо, щоб оцінити об'єм цієї інформації. Буквально все, що тільки є на місцевості відображено на знімку без будь-якої генералізації. Безумовно, карту можна скласти і без генералізації. Але, хто буде спроможний прочитати цю карту? Скоріше всього вона буде зображати собою суцільну, багатокольорову пряму, яку не можуть віддешифрувати навіть дуже досвідчені фахівці, і все ж таки, знімок не може замінити карту, бо він передає інформацію в центральній проекції. Звідси витікають і всі його недоліки, головним чином це змінний масштаб. При цьому, цей масштаб змінюється не тільки від точки до точки, але навіть в одній і тій самій точці він змінюється за напрямами. А чи можна поєднати знімок з картою?

Розглянемо площини Р і Т, це площини проекції й основи. Площину Е, яку вибрано з метою оберненого проектування точок знімків і, яка паралельна площині основи, називають екранною площиною, або екраном.

Рис.1.

Нехай, на основі розташовані дві будь-які точки, А і В. Ці точки мають своє відображення і в площинах Е (А_Е і В_Е ) та Р(а і в).

Розглянемо трикутники ΔSA_ЕN_Е і ΔSAN Ці трикутники мають спільні кути в точці S і прямі кути SN_ЕA_Е і SNA, за визначенням. Тобто ці трикутники подібні. Якщо це так, то не залежно від кута нахилу знімка правдиві відношення:

(1)

Окрім того, відомо, що відношення SA_Е: SA є масштаб зображення точки А_Е на екранній площині відносно основи, а відрізок SN є не що інше, як істинна SN висота фотографування точки А. Звідси:

(2)

Аналогічно розглядаючи трикутники ΔSВ_ЕN_Е і ΔSВN отримаємо

значення масштабу точки В_Е . Причому, отримаємо рівні масштаби і точки А_Е і точки В_Е відносно площини основи. Безумовно, це буде справедливо тільки в тому випадку, коли точки А і В лежать в одній площині.

Звідси - точки площини основи відображаються на паралельній площині екрана в ортогональній проекції. Таким чином, отримані в результаті оберненого проектування точки знімка на екранну площину будуть належати ортогональній проекції в заданому масштабі. Або іншими словами - з метою побудови фотоплану місцевості в заданому масштабі 1:М достатньо спроектувати точки знімка на площину, що розташована паралельно до площини основи, на віддалі від центру проектування d, яка дорівнює:

(3)

де Н_а - середня висота фотографування.

Отже, теоретично, якщо маємо фотозбільшувач,фокусна віддаль якого дорівнює фокусній камері для рівнинної місцевості, можна отримати фотоплан. Тобто знімок місцевості в ортогональній проекції.

Звідси витікають основні геометричні властивості фоторансформування.

1. Негатив мусить бути розташований перпендикулярно до конструктивної осі приладу, яка співпадає з фокусною віддаллю f = S₀.

2. Об'єктив приладу повинен бути розташований від негативу на віддалі, яка дорівнює фокусній віддалі камери.

3. Площина екрану мусить утворювати з конструктивного віссю приладу кут рівний 90° - ε.

4. Екран повинен бути розташований від об'єктиву по осьовій лінії на віддалі SN_Е =Η_А : Μ.

На перший погляд здається задачу вирішено, але це тільки на перший погляд. Справа в тому, що ми дуже захопилися математикою і зовсім забули про фізику. Аматори фотографування знають і розуміють, що під час друку фотознімків, зміна відстані між екраном і об'єктивом фотозбільшувача впливає на зміну різкості зображення. Тільки виконуючи геометричну умову (4.3) дійсно буде отримано зображення в заданому масштабі, але ми того не побачимо. Так, що дякуючи математиці, з її точковим центром проекції, переходимо до фізики, яка допоможе розібратися з реальною оптичною системою — об'єктивом.

Відомо, що з метою отримання різкого зображення, необхідно дотримуватися головної умови оптики, У фотограмметрії її називають першою оптичною умовою.

Ця умова полягає в тому, що обернене значення фокусної віддалі проектую чого об'єктиву

дорівнює сумі обернених значень віддалі між об'єктивом та негативом та відстані від об'єктива до екрана

Тобто математично цю умову можна записати у вигляді, який запропонований Гауссом:

(4)

Помножимо ліві і праві частини виразу (4.) на добуток f Fd, в результаті цієї дії отримуємо формулу Ньютона:

(5)

З урахуванням (4.), отримуємо

(6)

Нагадаємо, що відношення f: Η_а, є масштаб знімка (m) звідси Η_а = fm У такому разі, підставимо значення середньої висоти фотографування у вираз (6) і поділивши його праву і ліву половини на f остаточно отримуємо:

(7)

або (8)

Який фізичний зміст відношення m: М?. Це не що інше, як коефіцієнт збільшення, або зменшення знімка. Позначимо цей коефіцієнт літерою n, тоді:

F(n+1) = f n (9)

або (10)

Таким чином ми отримали формулу, яка допомагає визначити фокусну віддаль об'єктиву приладу, яка забезпечить різке зображення знімка при коефіцієнті збільшення n, не порушуючи геометричної умови. Відхилення значення фокусної віддалі від номінальної, тобто від такої яку фактично маємо, може досягати 20 %. Таке відхилення не буде позначатися на якості зображення.

Прилади, які дозволяють отримувати якісні знімки в ортогональній проекції, тобто фотоплани, в заданому масштабі називають фототрапсформаторами. Причому, такі прилади, які зберігають тотожність променів, що існували під час знімання, а це досягається виконанням геометричних та першої оптичної умови називають трансформаторами першого роду.

Зрозуміло, що обробляти знімки на приладах зі змінними об'єктивами дуже незручно. Безумовно зручніше працювати з одним об'єктивом приладу. Але, у цьому випадку напевно виникають спотворення і їх треба враховувати.

Розглянемо, які ж спотворення виникають під час трансформування знімків на приладі, фокусна віддаль якого не дорівнює фокусній віддалі камери знімання.

Розглянемо трансформатор першого роду зі знімком Р та екранною площиною Е. (рис.4.2). Центр проектування S, розміщуємо, як і звичайно, між цими площинами. Відшукаємо геометричні залежності між положеннями об'єктиву S₂, екраном Е₂ і знімком Р. Тобто розглянемо умови трансформаторів другого роду.

Г

Рис. 4.2.

Проведемо в площині головного вертикалу пряму лінію S_і, яка паралельна площині екрану Е, до її перетину з площиною знімка. Опишемо з отриманої точки дугу з радіусом S_і.

Якщо можна довести, що крізь будь-яку точку цієї дуги завжди можна отримати зображення на екрані Е₂ тотожне зображенню на екрані Б_и то тим самим доведемо правдивість існування трансформаторів іншого роду.

Нехай, у площині знімка маємо точку а з координатами:

х = a b;

у = a b;

у площині екрану Е, зображення цієї точки буде мати координати:

х = a₁ b₁;

у = a₁ b₁;

і, нарешті, у площині Е ₂ :

х = a₂ b₂;

у = a₂ b₂; (11)

Розглянемо трикутники S₁oi та o₁oV. Ці трикутники потрібні, у такому разі вірні відношення:

(12)

З трикутників ΔS₂ ОІ та ΔО₂О V які таж само подібні, отримаємо:

(ІЗ)

На основі цих відношень маємо:

(14)

але відрізки S₁i = S₂i, за побудовою, є радіуси дуги, таким чином:

O₁V = O₂V. (15)

Тепер розглянемо трикутники Δb₁bv і ΔS₁bi Ці трикутники так само подібні, тому можна записати:

(16)

А з подібних трикутників ΔbіS₂ і ΔbVb₂ i отримаємо:

(17)

Тобто, ми довели рівність

b₁V = b₂V (18)

Віднімемо під виразу (18) вираз (15)

b₁V – О₁ V= b₁О₁ = b₂V - О₂V = b₂О_2. (19)

Таким чином, ми довели, що існує таке положення екрану Е, при якому ординати проекції точки знімку на обидві ці площини рінні між собою.

Тепер візьмемо трикутники ΔS₁ а₁ b₁ та ΔS₁ а b і трикутники

ΔS₂ а₂ b₂ та ΔS₂ а b. Ці дві пари трикутників так само подібні між собою, тому що а₁b₁ // аb Звідси виходять рівності:

та (20)

але лінії S₁ і // b₁ V та S₂ і // b₂ V, таким чином вони відсікають пропозицій відрізки:

та (21)

У такому разі:

(22)

Таким чином доведено, що існує таке положення екрану Е₂ при якому і абсциси, і ординати точок, які лежать у площині цього екрану, дорівнюють координатам відповідних точок екрану Е, тобто трансформатора першого роду. Як випливає з графічних побудов взаємозв'язки між точками знімка і точками на екрані буде витримано коли площина знімка, головна площина об'єктиву та площина екрану, будуть перетинатися по одній лінії (умова Шаймпфлюґа)