П.3. Связь между графо-аналитическими методами решения игровых задач с двустрочными и двустолбцовыми матрицами выигрышей

Докажем теорему о связи между решениями игр с матрицами и , которая вытекает из теоремы 2.2.1 о необходимых и достаточных условиях оптимальности смешанных стратегий и ее следствия.

Теорема 2.2. Пусть – оптимальные стратегии первого и второго игроков в игре с матрицей

и ценой . Для игры с матрицей оптимальные стратегия первого и, соответственно, второго игроков и цена в игре с матрицей будут удовлетворять равенствам , .

Доказательство. Согласно теореме 2.2.1 об оптимальных смешанных стратегиях для цены оптимальных стратегий первого и второго игроков выполняются неравенства

, . (2.31)

Умножим неравенства (2.31) на –1

, . (2.32)

Поскольку матрица имеет строк, то любой вектор , для которого и , является смешанной стратегией первого игрока в игре с матрицей . По условиям теоремы этими свойствами обладает вектор . Значит, вектор является смешанной стратегией первого игрока в игре с матрицей . Аналогичные рассуждения показывают, что вектор является смешанной стратегией второго игрока в игре с матрицей . Суммирование в первой группе неравенств (2.31) ведется по второму индексу чисел , а в первой группе неравенств (2.32) – по первому. Аналогичная смена индекса суммирования происходит и во вторых группах неравенств (2.31) и (2.32). Значит, матрицы систем (2.31) и (2.32) являются транспонированными относительно друг друга. Поскольку неравенства (2.32) выполняются для одного и того же числа и смешенных стратегий в игре с , то согласно следствию теоремы 2.2.1 это число является ценой, а смешанные стратегии оптимальными такой игры. Теорема доказана.

Сделаем из этой теоремы вычислительные выводы.

Вместо того чтобы применять метод, описанный в П.2 данного параграфа к двустолбцовой матрице, можно проделать следующие процедуры:

1) Двустолбцовая матрица транспонируется, и знаки всех ее элементов заменяются на противоположные.

2) Решается вспомогательная задача с двустрочной матрицей .

3) Ответ записывается в соответствии с теоремой 2.2, т.е. у найденной цены изменяется знак на противоположный, оптимальная стратегия первого (второго) игрока вспомогательной задачи c матрицей принимается за стратегию второго (первого) игрока задачи с матрицей .