Высшая математика

1. Исследовать на сходимость ряд: .

Имеем , . По признаку Даламбера находим предел:

, т.к. l <1, то ряд сходится.

2. Исследовать на сходимость ряд .

Применим признак Коши. Найдем

.

Следовательно, данный ряд расходится.

3. Исследовать на сходимость ряд .

Сравним этот ряд с рядом

(6)

Имеем, .

Применяя интегральный признак, вычисляем интеграл.

.

Это значит, что интеграл сходится, а, значит, и ряд (6) также сходится. Тогда по признаку сравнения сходится и исходный ряд.

Приложения степенных рядов.

Если функция f (x) имеет производные любого порядка в интервале | х-х ₀|< r, где r ³0, то в этом интервале она может быть разложена в сходящийся ряд Тейлора.

При х ₀=0 получается ряд Маклорена:

Приведём разложения в ряды Маклорена и соответствующие области сходимости соответствующих рядов, для наиболее часто встречающихся в практике функций

.

.

.

.

.

Пользуясь разложениями функций в степенные ряды можно вычислять приближенные значения функций в некоторых точках, вычислять определенные интегралы, находить частные решения дифференциальных уравнений.

Пример. Вычислить с точностью до 0,001.

Первообразная для функции не выражается через элементарные функции. Поэтому точное значение интеграла вычислить мы не сможем. Но с помощью рядов Маклорена и действий над ними можно вычислить данный интеграл с любой степенью точности. Для этого воспользуемся известным разложением в ряд:

.

Ряд, стоящий справа равномерно сходится к функции при любом действительном t. Заменим t на . Получим

.

Это разложение также верно при любом действительном х. Проинтегрируем последнее равенство в пределах от 0 до 0,5.

Мы получили знакочередующийся ряд. Известно, что сумма знакочередующегося ряда не превосходит абсолютной величины его первого члена. Поэтому ряд, начинающийся с третьего члена, будет иметь сумму не превосходящую . Таким образом, если мы отбросим в правой части все слагаемые, начиная с третьего, то сделаем ошибку не большую 0,001.

Итак, с точностью до 0,001 имеем: .

Округляя до тысячных долей получим окончательно

.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

(общий курс)

Контрольные задания и примеры их решения

для студентов 1 курса экономических специальностей

заочной формы обучения

1 семестр

Составители: Н. Т. Ахтямов

Д. С. Гарипов

В. В. Максимов

В. А. Паняев

Самара

2010

УДК 519.7

Высшая математика (общий курс): контрольные задания и примеры их решения для студентов 1 курса экономических специальностей заочной формы обучения / составители: Н. Т. Ахтямов, Д. С. Гарипов, В. В. Максимов, В. А. Паняев. – Самара: СамГУПС, 2010. – 35 с.

Утверждены на заседании кафедры 1.09.2009 г., протокол № 1.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

Контрольные задания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом и типовой программой по высшей математике и охватывают следующие разделы общего курса: элементы аналитической геометрии и линейной алгебры, дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Приведены 30 вариантов контрольных заданий и образцы их решений.

Составители: к.ф-м.н., Наиль Тагирович Ахтямов

преп. Дмитрий Сергеевич Гарипов

доц., к.т.н. Валерий Владимирович Максимов

доц., к.т.н. Валерий Алексеевич Паняев

Рецензенты: к. ф-м.н., доц. СГУ Г. В. Воскресенская;

к. т. н., доц. СамГУПС В. Л. Шур

Под редакцией доц. О. Ф. Марковича

Подписано в печать 04.02.2010. Формат 60×901 1/16.

Усл. печ. л. 2,2. Тираж 200 экз. Заказ № 6.

© Самарский государственный университет путей сообщения, 2010

СОДЕРЖАНИЕ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ

I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1. Понятие матрицы, виды матриц, операции над матрицами.

2. Определители второго и третьего порядка. Свойства определителей.

Вычисление определителей. Понятие об определителе n -го порядка.

3. Обратная матрица. Элементарные преобразования. Ранг матрицы и его вычисление.

4. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

5. Формулы Крамера для систем линейных уравнений.

6. Метод обратной матрицы для решения систем линейных уравнений.

7. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

8. Векторы. Линейные операции над векторами.

9. Линейная зависимость и независимость векторов на плоскости и в трехмерном пространстве.

10. Разложение вектора по координатному базису. Координаты вектора, их геометрический и экономический смысл. Линейные операции над векторами в координатной форме. Деление отрезка в данном отношении.

11. Скалярное произведение векторов, его свойства и вычисление. Длина вектора. Угол между векторами, условие ортогональности.

12. Векторное произведение, его свойства и вычисление. Условие коллинеарности векторов. Условие компланарности векторов.

13. Смешанное произведение трех векторов, его свойства. Вычисление объемов.

14. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

15. Плоскость. Способы задания плоскости и соответствующие им виды уравнений. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

16. Прямая в пространстве. Различные виды уравнений прямой в пространстве.

17. Линии второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Канонические уравнения и свойства.

18. Полярные координаты. Уравнение линии в полярных координатах.

19. Цилиндрические поверхности и поверхности вращения.

20. Поверхности второго порядка общего вида.

II. Введение в математический анализ

1. Понятие функции. Основные элементарные функции, их графики.

2. Числовая последовательность, предел последовательности.

3. Предел функции. Основные теоремы о пределах.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, основные свойства. Сравнение бесконечно малых величин.

5. Первый и второй замечательные пределы.

6. Раскрытие простейших неопределенностей.

7. Непрерывность функций.

III. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1. Производная функции, ее геометрический, механический и экономический смысл.

2. Правила и формулы дифференцирования. Дифференцирование сложной

функции.

3. Логарифмическое дифференцирование.

4. Производные высших порядков.

5. Дифференцирование неявных функций. Параметрическая функция и ее

дифференцирование.

6. Дифференциал функции, его геометрический и механический смысл. Правила

нахождения дифференциала.

7. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.

IV. Исследование функции с помощью производных

1. Монотонные функции. Условия возрастания и убывания функций.

2. Экстремумы функции. Необходимые условия экстремумов. Достаточные

условия существования экстремумов.

3. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

4. Вертикальные и наклонные асимптоты кривых.

5. Общая схема исследования функции и построение графика.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Высшая математика для экономистов / под ред. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. – 479 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов / под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 656 с.

3. Писменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М.: Айрес-пресс, 2007. – 608с.

4. Шипачев В.С. Высшая математика: учеб. для вузов. – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.

5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 2000. – 320 с.

6. Пискунов И.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1, 2. –М.: Интеграл-пресс, 2002.

7. Справочник по высшей математике / под ред. А.А. Гусака. – Мн.: Тетра- Системс, 1999. – 640 с.

8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч.1, 2. – М.: Высшая школа, 2006.

9. Климова Е.Н., Маркович О.Ф. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: конспект лекций. – Самара: СамГАПС, 2003. – 74 с.

10. Додонова Н.Л., Маркович О.Ф., Паняев В.А. Высшая математика (общий курс). Рабочая программа, методические указания и контрольные задания для студентов 1 курса заочной формы обучения экономических специальностей. – Самара: СамГУПС, 2009. –89 с. (№ 2312).