Нахождение обратной для матрицы, отличающейся от единичной одним столбцом

Рассмотрим вначале пару примеров.

.

Чтобы найти обратную для исходной матрицы, третью строку разделили на , затем к первой строке прибавили третью, умноженную на , ко второй строке – третью, умноженную на , к четвертой – третью, умноженную на .

.

Преобразования были следующими: первую строку разделили на , затем ко второй строке добавили первую, умноженную на , а к третьей строке – первую, умноженную на . Проанализировав результаты, можем сформулировать правило.

Чтобы найти обратную для матрицы, отличающейся от единичной одним столбцом, нужно единичные столбцы оставить без изменения, а отличающийся столбец преобразовать следующим образом. Элемент на главной диагонали заменить обратным ему, остальные элементы столбца взять с противоположным знаком и разделить на элемент, стоявший на главной диагонали.

Пример. .

2.3. Приближенное нахождение обратной для матрицы вида , где матрица А такая, что .

Вспомним формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

.

Если , формула суммы будет иметь вид:

.

По аналогии с данной формулой, заменяя 1 на единичную матрицу Е, а знаменатель прогрессии q на матрицу А, можем написать:

Пример. Возьмем матрицу , ее норма, равная . Составим Е – А: . Найдем обратную для неё матрицу вначале методом Гаусса.

.

Таким образом .

Теперь найдем обратную матрицу приближенно по формуле:

. Вычислим нужные степени матрицы А:

;

.

.

Сравнение матриц, найденных двумя способами, показывает их достаточно хорошее совпадение, различия начинаются во втором знаке после запятой. При увеличении числа слагаемых в приближенной формуле точность нахождения обратной матрицы будет увеличиваться.