Определение в рядах динамики общей тенденции развития

Определение уровней ряда динамики на протяжении длительного периода времени обусловлено действием ряда факторов, которые неоднородны по силе и направлению воздействия, оказываемого на изучаемое явление.

Рассматривая динамические ряды, пытаются разделить эти факторы на постоянно действующие и оказывающие определяющее воздействие на уровни ряда, формирующие основную тенденцию развития, и случайные факторы, приводящие к кратковременным изменениям уровней ряда динамики. Наиболее важна при анализе ряда динамики его основная тенденция развития, но часто по одному лишь внешнему виду ряда динамики ее установить невозможно, поэтому используют специальные методы обработки, позволяющие показать основную тенденцию ряда. Методы обработки используются как простые, так и достаточно сложные. Простейший способ обработки ряда динамики, применяемый с целью установления закономерностей развития - метод укрупнения интервалов.

Суть метода укрупнения интервалов в том, чтобы от интервалов, или периодов времени, для которых определены исходные уровни ряда динамики, перейти к более продолжительным периодам времени и посмотреть, как уровни ряда изменяются в этом случае.

Пример. Данные о реализации молочной продукции в магазинах города по месяцам представлены таблицей 1.27 (в тоннах).

Таблица 8.2

месяц
январь	5,3	5,3	5,4
февраль	5,3	5,1	5,2
март	7,9	8,3	8,2
апрель	8,2	9,0	9,3
май	9,8	9,5	10,1
июнь	12,5	13,0	13,1
июль	11,8	12,2	12,5
август	10,3	10,4	10,8
сентябрь	8,2	8,0	8,3
октябрь	6,5	6,6	6,8
ноябрь	5,4	5,5	5,7
декабрь	5,5	5,5	5,6
итого за год	96,7	98,4

Исходные уровни ряда динамики подвержены сезонным изменениям; для определения общей тенденции развития переходят от ежемесячных уровней к годовым уровням: 2004г. - 96,7 тонн; 2005г. - 98,4 тонн; 2006г. - 101 тонна. Эти цифры, полученные в результате перехода к годовым уровням ряда динамики, показывают общую тенденцию роста реализации молочной продукции.

Другой способ определения тенденции в ряду динамики — метод скользящих средних. Суть метода заключается в том, что фактические уровни ряда заменяются средними уровнями, вычисленными по определённому правилу, например: — исходные или фактические уровни ряда динамики заменяются средними уровнями: ; ; ; …… .

В результате получается сглаженный ряд, состоящий из скользящих пятизвенных средних уровней . Между расположением уровней и устанавливается соответствие: , — — — —, сглаженный ряд короче исходного на число уровней , где k - число уровней, выбранных для определения средних уровней ряда.

Сглаживание методом скользящих средних можно производить по четырём, пяти или другому числу уровней ряда, используя соответствующие формулы для усреднения исходных уровней. Полученные при этом средние уровни называются четырёхзвенными скользящими средними, пятизвенными скользящими средними и т.д.

При сглаживании ряда динамики по чётному числу уровней выполняется дополнительная операция, называемая центрированием, поскольку, при вычислении скользящего среднего, например по четырём уровням, относится к временной точке между моментами времени, когда были зафиксированы фактические уровни и . Схема вычислений и рас положений уровней сглаженного ряда становится сложнее:

... — исходные уровни;

— — ... — сглаженные уровни;

— — ... — центрированные сглаженные уровни;

.

Метод скользящих средних не позволяет получить численные оценки для выражения основной тенденции в ряду динамики, давая лишь наглядное графическое представление.

Пример.

Таблица

Годы	Объем продаж, млн. руб.	Скользящая средняя по 5 уровням
	4,3	—
	4,5	—
	4,3	4,72
	5,2	5,00
	5,3	5,30
	5,7	5,64
	6,0	5,78
	6,0	5,86
	5,9	6,10
	5,7	6,32
	6,9	6,58
	7,1	6,94
	7,3	7,48
	7,7	7,68
	8,4	7,92
	7,9	8,22
	8,3	8,38
	8,8	8,54
	8,5	8,94
	9,2	9,18
	9,9	9,30
	9,6	—
	9,3	—

На рис. показан график, построенный по данным о объеме продаж представленных в таблице 8.2.

Рис. 8.1. Объем продаж исходный и сглаженный

Наиболее совершенным способом определения тенденции развития в ряду динамики является метод аналитического выравнивания. При этом методе исходные уровни ряда динамики заменяются теоретическими или расчетными , которые представляют из себя некоторую достаточно простую математическую функцию времени, выражающую общую тенденцию развития ряда динамики. Чаще всего в качестве такой функции выбирают прямую, параболу, экспоненту и др.

Например, ,

где - коэффициенты, определяемые в методе аналитического выравнивания;

- моменты времени, для которых были получены исходные и соответствующие теоретические уровни ряда динамики, образующие прямую, определяемую коэффициентами .

Расчет коэффициентов ведется на основе метода наименьших квадратов:

Если вместо подставить (или соответствующее выражение для других математических функций), получим:

Это функция двух переменных (все и известны), которая при определенных достигает минимума. Из этого выражения на основе знаний, полученных в курсе высшей математики об экстремуме функций n переменных, получают значения коэффициентов .

Для прямой:

где n — число моментов времени, для которых были получены исходные уровни ряда .

Если вместо абсолютного времени выбрать условное время таким образом, чтобы , то записанные выражения для определения упрощаются:

Пример. Нечетное число уровня ряда.

							абсолютное время
-3	-2	-1					условное время

Чётное число уровней ряда.

								абсолютное время
-7	-5	-3	-1					условное время

В обоих случаях .

Пример. Выполняется аналитическое выравнивание ряда, отражающего производство стали в стране по годам (млн. т).

141,3	144,8	146,7	151,5	149,0

В качестве математической функции, отражающей тенденцию развития, выбирается прямая , определение производится для условного времени, в результате , .

Год	Производство стали	Условное время,	Теоретические уровни
	141,3	-2	142,2
	144,8	-1	144,4
	146,7		146,7
	151,5		148,9
	149,0		151,1

Определение в рядах внутригодовой динамики

Многие экономические процессы подвержены сезонным изменениям, например, продажа сезонных вещей, потребление электроэнергии и др.

Для анализа рядов динамики, подверженных сезонным изменениям, используются специальные методы, позволяющие установить и описать особенности изменения уровней ряда. Прежде, чем использовать методы изучения сезонности, необходимо подготовить данные, приведённые в сопоставимый вид, за несколько лет наблюдения по месяцам или кварталам. Изменения сезонных колебаний производится с помощью индексов сезонности. В зависимости от существующих в ряду динамики тенденций используются различные правила построения индексов.

1. Ряд динамики не имеет общей тенденции развития, либо она не велика.

Индекс сезонности: ,

где — средний уровень ряда, полученный в результате осреднения уровней ряда за одноимённые периоды времени (например, средний уровень января за все годы наблюдения);

— общий средний уровень ряда за всё время наблюдения.

Вывод о наличии или отсутствия в ряду динамики ярко выраженной тенденции может производиться, например, при помощи метода укрупнения интервалов.

Пример. Имеются данные заключения брака в городе за ряд лет наблюдения:

Месяц
январь
февраль
март
апрель
май
июнь
июль
август
сентябрь
октябрь
ноябрь
декабрь
итого за год

При переходе от месячных к годовым уровням можно установить, что тенденция роста очень незначительна.

Общий средний уровень ряда:

— среднее число браков, заключаемых за один день.

Средний уровень января:

— среднее число браков за один день января.

Аналогично рассчитывается средние уровни февраля, марта и т.д. Результаты расчётов сведены в таблицу:

Месяц
январь	5,74	104,2
февраль	6,45	117,1
март	5,27	95,6
апрель	5,4	88,0
май	4,63	84,0
июнь	5,01	91,0
июль	5,34	96,9
август	5,64	102,4
сентябрь	5,0	90,7
октябрь	5,39	97,8
ноябрь	6,13	111,3
декабрь	6,14	111,4

Полученные индексы сезонности дают оценку того, как в отдельные месяцы года количество заключённых браков отклоняется от среднего значения. Построенный по полученным индексам сезонности линейный график наглядно покажет сезонность рассматриваемого процесса.

2. Ряд динамики имеет общую тенденцию, и она определена либо методом скользящего среднего, либо методом аналитического выравнивания.

Индекс сезонности ,

где — исходные уровни ряда:

— уровни ряда, полученные в результате определения скользящих средних для тех же периодов времени, что и исходные уровни:

i — номер месяца или квартала, для которого определяется индекс сезонности:

n — число лет наблюдения за процессом.

В случае, если тенденция развития определялась методом аналитического выравнивания, расчетная формула получения индексов сезонности совершенно аналогична предыдущей, но вместо — уровней, полученных методом скользящих средних, используются — полученные методом аналитического выравнивания.

Пример. На основе исходных данных о реализации сахара в продовольственных магазинах города в 2006 — 2008 гг. (т), определены скользящие средние по трем уровням ряда:

На основе исходных и сглаженных уровней ряда строятся индексы сезонности:

Месяц
Исходные уровни	Сглажен. уровни	Исходные уровни	Сглажен. уровни	Исходные уровни	Сглажен. уровни
январь	78,9	-------	108,6	106,2	129,1	131,3
февраль	78,1	81,0	107,9	107,8	128,6	129,5
март	86,0	87,2	106,8	115,4	130,7	137,4
апрель	97,5	88,9	132,1	117,3	152,8	141,1
май	83,3	88,9	113,0	119,0	139,8	146,7
июнь	86,0	86,6	111,8	116,4	147,4	150,3
июль	90,6	87,6	124,4	116,8	163,8	152,5
август	86,1	86,0	114,1	115,6	146,3	149,3
сентябрь	81,3	90,8	108,4	115,6	137,8	145,4
октябрь	105,1	94,5	124,0	117,0	152,2	144,4
ноябрь	97,2	101,5	118,0	126,2	143,2	150,6
декабрь	102,1	102,6	136,3	128,0	156,5	-------

Так для января:

Для февраля:

и т.д.

Индексы сезонности по месяцам сведены в таблицу:

Месяц

Построив линейный график, можно увидеть закономерности изменения объёма продаж сахара по месяцам года.