Алгоритм выражения симметрических многочленов через элементарные

1) Пусть однородный симметрический многочлен.

1. Приводим все подобные и находим старший член по лексикографическому порядку: .

2. Выписываем набор показателей степеней при переменных одночлена и все возможные наборы неотрицательных целых чисел такие, что .

3. Для каждого выписанного набора показателей строим одночлен от вида .

4. Берём сумму полученных одночленов, взятых ровно по одному разу, причём слагаемое, соответствующее набору для , берём с коэффициентом , а все остальные с неопределёнными коэффициентами . Приравниваем полученную сумму к многочлену :

5. Находим неопределённые коэффициенты . Для этого задаём конкретные значения переменным , находим для них значения элементарных симметрических многочленов и , подставляем в равенство (*). Получим соотношение для неопределённых коэффициентов. Если требуется, задаём ещё значения переменных и т.д.

6. В равенство (*) подставляем найденные значения неопределённых коэффициентов и получаем выражение через элементарные симметрические многочлены.

2) Неоднородный симметрический многочлен разбиваем предварительно в сумму однородных симметрических: , каждый из которых представляем в виде многочлена от элементарных симметрических по предыдущему алгоритму: . Сумма всех представлений и есть представление данного симметрического неоднородного многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических: .

Пример 24. Выразить симметрический многочлен через элементарные симметрические многочлены.

Находим старший по лексикографическому порядку: , т.к. у него набор показателей (4;0;0), а у остальных (0;4;0) и (0;0;4).

Выписываем набор показателей для старшего по лексикографическому порядку (4;0;0) и строим все возможные наборы с требуемыми в (*) условиями: (3;1;0), (2;2;0), (2;1;1). Других наборов нет.

Для каждого полученного набора строим соответствующий одночлен от с положенными коэффициентами, берём их сумму и приравниваем к : .

Находим неопределённые коэффициенты .

Эту задачу решаем, заполняя таблицу

При этом подбираем самые рациональные наборы значений . Например, если возьмём такой набор значений, что , то из полученного одного уравнения сразу найдём коэффициент .Такой набор дан в первой строке таблицы:

		-2		-3	-2

По набору значений в первой строке получаем: . . Значит, и .

Возьмём такой набор значений , чтобы (вторая строка таблицы). Получим уравнение . Тогда . Теперь берём такой набор значений, чтобы (третья строка таблицы). Тогда получим уравнение . Поэтому . Значит, .

Пример 25. Решите уравнение .

Решаем, используя теорию симметрических многочленов. Обозначим . Тогда, складывая эти два равенства, а затем складывая их четвёртые степени (исключая из равенства), получаем систему соотношений:

Выразим симметрический многочлен через элементарные симметрические многочлены от двух переменных . Заметим, что в данном случае это можно сделать без использования основного алгоритма. Действительно, . Поэтому, полученная выше система перепишется в виде

Решаем полученную систему относительно . Подставляя значение во второе уравнение системы, получим или . Тогда или Таким образом, учитывая определение , получим или

По теореме, обратной теореме Виета, - корни квадратного уравнения в первом случае и во втором.

В первом случае получаем единственное решение , а во втором , действительных решений нет.

Итак, или .

Пример 26. Решите уравнение .

Как и в предыдущем примере обозначим . Тогда получаем систему Так как , а , то система преобразуется к виду:

Подставляя во второе уравнение выражение , получим квадратное уравнение . Решая его и вычисляя значения , сводим решение уравнения к решению систем или

Подставим вместо их выражения:

или

Как и в предыдущем примере по теореме, обратной теореме Виета, корни соответствующих квадратных уравнений В первом случае и действительных корней нет. Во втором случае В силу симметричности вхождения переменных получаем, что или

Из обозначений следует, что или

Пример 27. Решите уравнение в рациональных числах.

Обозначим . Тогда уравнение равносильно системе

Возведём первые два слагаемые в квадрат и сложим, а в левой части второго выполним действия и получим систему относительно :

Левая часть второго уравнения не является симметрическим многочленом относительно , но является симметрическим выражением.

Заметим, что и . Тогда система преобразуется к виду

Имеем . Подставляем в первое уравнение: .

Решаем это квадратное уравнение: или .

Поэтому или Тогда по теореме, обратной теореме Виета, корни квадратных уравнений или В результате получим

Отбирая только рациональные решения и учитывая симметричность вхождения переменных , получим: или Так как , то

Пример 27. Решите систему уравнений

Обозначив , получим симметрическую систему

Учитывая, что , выражаем левые части обоих уравнений через элементарные симметрические : Откуда, или По теореме, обратной теореме Виета, - корни квадратного уравнения Получаем, что

В силу симметричности вхождения переменных , или

А так как то окончательно получаем

Таким образом, система имеет ровно два решения или

Пример 28. Решите систему уравнений

Так как левые части уравнений являются симметрическими многочленами, то применяем теорию симметрических многочленов. Выразим левые части уравнений через элементарные симметрические многочлены от двух переменных

Именно, , .

Тогда изначальная система при введённых обозначениях равносильна системе:

Подставляя значение во второе уравнение, получим уравнение , одним из корней которого является -1. Тогда уравнение представляется в виде . Многочлен не имеет действительных корней. Поэтому система (*) имеет единственное действительное решение

Тогда и по теореме, обратной теореме Виета, - корни квадратного уравнения Получаем В силу симметричности вхождения неизвестных , исходное уравнение имеет два решения: или

Пример 29. Разложить на множители многочлен .

Очень часто симметрические выражения легче разложить на множители, если представить их в виде выражений от элементарных симметрических многочленов.

Представим в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов по известному алгоритму.

Находим старший по лексикографическому порядку: . Комбинация его показателей . Теперь выписываем все возможные комбинации показателей, удовлетворяющих соответствующим условиям: . Таким образом, .

Ищем неопределённые коэффициенты :

	-1		-1	-4

Итак, при получаем, что . Тогда

Если то получаем, что , , . Значит, .

Итак,

Теперь, зная полученное разложение, можно придумать школьные способы для его получения.

Вариант 1

1. Решите уравнения в целых числах:

а)

б)

2. Найдите НОД(a, b) и линейно выразите его через a и b с целыми коэффициентами, если a =1397, b =5951.

3. Докажите, что для любых целых чисел , если делится на 11, то и делится на 11.

4. Решите систему в натуральных числах:

5. Сложите дроби, приведя их к наименьшему общему знаменателю:

6. Сформулируйте и докажите признак делимости на m в десятичной системе счисления. Будет ли число а делиться на m, если m =30, а =2457320?

7. Докажите, что следующие числа не могут быть простыми одновременно: .

8. Найдите все возможные цифры x и y такие, что делится на 12.

9. Докажите иррациональность действительного числа , если .

10. Найдите все натуральные числа такие, что:

а) - различные простые числа;

б) делится на 14 и .

11. Переведите из одной системы счисления в другую: в семеричную.

12. Найдите остаток от деления на и выполните действия в указанной системе счисления .

13. Представьте следующие бесконечные десятичные дроби в виде обыкновенных несократимых дробей: а) 0,(121); б) 0,21(5).

14. Найдите каноническую форму записи натуральных чисел a и b, если a =4871, b =41323.

15. Укажите общую формулу целых чисел n, для которых сократима дробь .

16. Найдите длину предпериода десятичной дроби, в которую обращается обыкновенная дробь

17. Решите уравнения в целых числах а) б)

18. Найдётся ли на прямой 5 х -25 у =13 хотя бы одна точка с целочисленными координатами?

19. Решите в целых числах уравнение x+y=xy.

20. Целое число n при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 – остаток 2. Какой остаток даёт n при делении на 6?

21. Докажите, что произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6.

22. Известно, что целое число 2 n +1 - точный квадрат. Докажите, что n делится на 4 (n – целое число).

23. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату некоторого двузначного числа и кубу некоторого однозначного.

24. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 – кубом некоторых натуральных чисел.

25. Найдите все простые числа p и q такие, что p ²-2 q ²=1.

26. Произведение числа 21 на некоторое натуральное четырёхзначное число – точный куб. Найдите это четырёхзначное число.

27. Докажите, что число, записанное тридцатью единицами и каким угодно количеством нулей, не является точным квадратом.

28. При каком условии делится на ?

29.Разделите на при а) и б) .

30. Вычислите , если и .

31. Многочлен разложите по степеням .

32. Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен .

33. Каким условиям удовлетворяют числа и , если биквадратное уравнение имеет четыре различных действительных корня?

34. Решите уравнение методом Кардано.

35. Освободитесь от алгебраической иррациональности в знаменателе .

36. Найдите сумму кубов корней уравнения .

37. Найдите все рациональные решения уравнения .

38. Решите систему

39. Разложите на множители с целыми коэффициентами .

40. Найдите по алгоритму все рациональные корни многочлена , если

Вариант 2

1. Решите уравнения в целых числах:

а)

б)

2. Найдите НОД(a, b) и линейно выразите его через a и b с целыми коэффициентами, если a =1443, b =1495.

3. Докажите, что для любых целых чисел , если делится на 13, то и делится на 13.

4. Решите систему в натуральных числах:

5. Сложите дроби, приведя их к наименьшему общему знаменателю:

6. Сформулируйте и докажите признак делимости на m в десятичной системе счисления. Будет ли число а делиться на m, если m =18, а =2132766?

7. Докажите, что следующие числа не могут быть простыми одновременно: .

8. Найдите все возможные цифры x и y такие, что делится на 15.

9. Докажите иррациональность действительного числа , если .

10. Найдите все натуральные числа такие, что:

а) - различные простые числа;

б) делится на 15 и .

11. Переведите из одной системы счисления в другую: в шестеричную.

12. Найдите остаток от деления на и выполните действия в указанной системе счисления .

13. Представьте следующие бесконечные десятичные дроби в виде обыкновенных несократимых дробей: а) 0,(24); б) 0,031(12).

14. Найдите каноническую форму записи натуральных чисел a и b, если a =3907, b =65231.

15. Укажите общую формулу целых чисел n, для которых сократима дробь .

16. Найдите длину предпериода десятичной дроби, в которую обращается обыкновенная дробь

17. Решите уравнения в целых числах а) б)

18. Найдётся ли на прямой 3 х -24 у =13 хотя бы одна точка с целочисленными координатами?

19. Решите в целых числах уравнение x+y=xy.

20. Целое число n при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 – остаток 2. Какой остаток даёт n при делении на 6?

21. Докажите, что произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6.

22. Известно, что целое число 2 n +1 - точный квадрат. Докажите, что n делится на 4 (n – целое число).

23. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату некоторого двузначного числа и кубу некоторого однозначного.

24. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 – кубом некоторых натуральных чисел.

25. Найдите все простые числа p и q такие, что p ²-2 q ²=1.

26. Произведение числа 21 на некоторое натуральное четырёхзначное число – точный куб. Найдите это четырёхзначное число.

27. Докажите, что число, записанное тридцатью единицами и каким угодно количеством нулей, не является точным квадратом.

28. При каком условии делится на ?

29.Разделите на при а) и б) .

30. Вычислите , если и .

31. Многочлен разложите по степеням .

32. Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен .

33. Зная, что многочлен имеет корень , найдите остальные его корни.

34. Решите уравнение методом Кардано.

35. Освободитесь от алгебраической иррациональности в знаменателе

36. Найдите сумму кубов корней уравнения .

37. Найдите все рациональные решения уравнения .

38. Решите систему

39. Разложите на множители с целыми коэффициентами .

40. Найдите по алгоритму все рациональные корни многочлена , если

Вариант 3

1. Решите уравнения в целых числах:

а)

б)

2. Найдите НОД(a, b) и линейно выразите его через a и b с целыми коэффициентами, если a =3225, b =1805.

3. Докажите, что для любых целых чисел , если делится на 17, то и делится на 17.

4. Решите систему в натуральных числах:

5. Сложите дроби, приведя их к наименьшему общему знаменателю:

6. Сформулируйте и докажите признак делимости на m в десятичной системе счисления. Будет ли число а делиться на m, если m =44, а =7211002?

7. Докажите, что следующие числа не могут быть простыми одновременно: .

8. Найдите все возможные цифры x и y такие, что делится на 8.

9. Докажите иррациональность действительного числа , если .

10. Найдите все натуральные числа такие, что:

а) - различные простые числа;

б) делится на 10 и .

11. Переведите из одной системы счисления в другую: в семеричную.

12. Найдите остаток от деления на и выполните действия в указанной системе счисления .

13. Представьте следующие бесконечные десятичные дроби в виде обыкновенных несократимых дробей: а) 0,(72); б) 0,201(53).

14. Найдите каноническую форму записи натуральных чисел a и b, если a =4951, b =56129.

15. Укажите общую формулу целых чисел n, для которых сократима дробь .

16. Найдите длину предпериода десятичной дроби, в которую обращается обыкновенная дробь

17. Решите уравнения в целых числах а) б)

18. Найдётся ли на прямой 7 х -28 у =19 хотя бы одна точка с целочисленными координатами?

19. Решите в целых числах уравнение x+y=xy.

20. Целое число n при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 – остаток 2. Какой остаток даёт n при делении на 6?

21. Докажите, что произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6.

22. Известно, что целое число 2 n +1 - точный квадрат. Докажите, что n делится на 4 (n – целое число).

23. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату некоторого двузначного числа и кубу некоторого однозначного.

24. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 – кубом некоторых натуральных чисел.

25. Найдите все простые числа p и q такие, что p ²-2 q ²=1.

26. Произведение числа 21 на некоторое натуральное четырёхзначное число – точный куб. Найдите это четырёхзначное число.

27. Докажите, что число, записанное тридцатью единицами и каким угодно количеством нулей, не является точным квадратом.

28. При каком условии делится на ?

29.Разделите на при а) и б) .

30. Вычислите , если и .

31. Многочлен разложите по степеням .

32. Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен .

33. Пусть - различные числа, причём . Докажите, что если уравнения и имеют ровно один общий корень, то другие корни этих уравнений являются корнями уравнения .

34. Решите уравнение методом Кардано.

35. Освободитесь от алгебраической иррациональности в знаменателе .

36. Найдите сумму кубов корней уравнения .

37. Найдите все рациональные решения уравнения

38. Решите систему

39. Разложите на множители с целыми коэффициентами .

40. Найдите по алгоритму все рациональные корни многочлена , если

Вариант 4

1. Решите уравнения в целых числах:

а)

б)

2. Найдите НОД(a, b) и линейно выразите его через a и b с целыми коэффициентами, если a =3615, b =11905.

3. Докажите, что для любых целых чисел , если делится на 23, то и делится на 23.

4. Решите систему в натуральных числах:

5. Сложите дроби, приведя их к наименьшему общему знаменателю:

6. Сформулируйте и докажите признак делимости на m в десятичной системе счисления. Будет ли число а делиться на m, если m =54, а =3101238?

7. Докажите, что следующие числа не могут быть простыми одновременно: .

8. Найдите все возможные цифры x и y такие, что делится на 33.

9. Докажите иррациональность действительного числа , если .

10. Найдите все натуральные числа такие, что:

а) - различные простые числа;

б) делится на 21 и .

11. Переведите из одной системы счисления в другую: в восьмеричную.

12. Найдите остаток от деления на и выполните действия в указанной системе счисления .

13. Представьте следующие бесконечные десятичные дроби в виде обыкновенных несократимых дробей: а) 0,(521); б) 0,208(7).

14. Найдите каноническую форму записи натуральных чисел a и b, если a =4703, b =68413.

15. Укажите общую формулу целых чисел n, для которых сократима дробь .

16. Найдите длину предпериода десятичной дроби, в которую обращается обыкновенная дробь .

17. Решите уравнения в целых числах а) ; б)

18. Найдётся ли на прямой 6 х -28 у =13 хотя бы одна точка с целочисленными координатами?

19. Решите в целых числах уравнение x+y=xy.

20. Целое число n при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 – остаток 2. Какой остаток даёт n при делении на 6?

21. Докажите, что произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6.

22. Известно, что целое число 2 n +1 - точный квадрат. Докажите, что n делится на 4 (n – целое число).

23. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату некоторого двузначного числа и кубу некоторого однозначного.

24. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 – кубом некоторых натуральных чисел.

25. Найдите все простые числа p и q такие, что p ²-2 q ²=1.

26. Произведение числа 21 на некоторое натуральное четырёхзначное число – точный куб. Найдите это четырёхзначное число.

27. Докажите, что число, записанное тридцатью единицами и каким угодно количеством нулей, не является точным квадратом.

28. При каком условии делится на ?

29.Разделите на при а) и б) .

30. Вычислите , если и .

31. Многочлен разложите по степеням .

32. Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен .

33. Найдите все значения , при которых уравнение имеет положительные корни.

34. Решите уравнение методом Кардано.

35. Освободитесь от алгебраической иррациональности в знаменателе .

36. Найдите сумму кубов корней уравнения .

37. Найдите все рациональные решения уравнения

38. Решите систему

39. Разложите на множители с целыми коэффициентами .

40. Найдите по алгоритму все рациональные корни многочлена , если

Вариант 5

1. Решите уравнения в целых числах:

а)

б)

2. Найдите НОД(a, b) и линейно выразите его через a и b с целыми коэффициентами, если a =1517, b =1443.

3. Докажите, что для любых целых чисел , если делится на 19, то и делится на 19.

4. Решите систему в натуральных числах:

5. Сложите дроби, приведя их к наименьшему общему знаменателю:

6. Сформулируйте и докажите признак делимости на m в десятичной системе счисления. Будет ли число а делиться на m, если m =33, а =1762323?

7. Докажите, что следующие числа не могут быть простыми одновременно: .

8. Найдите все возможные цифры x и y такие, что делится на 18.

9. Докажите иррациональность действительного числа , если .

10. Найдите все натуральные числа такие, что:

а) - различные простые числа;

б) делится на 6 и .

11. Переведите из одной системы счисления в другую: в шестеричную.

12. Найдите остаток от деления на и выполните действия в указанной системе счисления .

13. Представьте следующие бесконечные десятичные дроби в виде обыкновенных несократимых дробей: а) 0,(32); б) 0,53(17).

14. Найдите каноническую форму записи натуральных чисел a и b, если a =3881, b =107113.

15. Укажите общую формулу целых чисел n, для которых сократима дробь .

16. Найдите длину предпериода десятичной дроби, в которую обращается обыкновенная дробь .

17. Решите уравнения в целых числах а) ; б) .

18. Найдётся ли на прямой 8 х +2 у =13 хотя бы одна точка с целочисленными координатами?

19. Решите в целых числах уравнение x+y=xy.

20. Целое число n при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 – остаток 2. Какой остаток даёт n при делении на 6?

21. Докажите, что произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6.

22. Известно, что целое число 2 n +1 - точный квадрат. Докажите, что n делится на 4 (n – целое число).

23. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату некоторого двузначного числа и кубу некоторого однозначного.

24. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 – кубом некоторых натуральных чисел.

25. Найдите все простые числа p и q такие, что p ²-2 q ²=1.

26. Произведение числа 21 на некоторое натуральное четырёхзначное число – точный куб. Найдите это четырёхзначное число.

27. Докажите, что число, записанное тридцатью единицами и каким угодно количеством нулей, не является точным квадратом.

28. При каком условии делится на ?

29.Разделите на при а) и б) .

30. Вычислите , если и .

31. Многочлен разложите по степеням .

32. Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен .

33. Известно, что уравнение имеет два отрицательных корня. Докажите, что и

34. Решите уравнение методом Кардано.

35. Освободитесь от алгебраической иррациональности в знаменателе .

36. Найдите сумму кубов корней уравнения .

37. Найдите все рациональные решения уравнения .