Симметрические многочлены

Определение. Многочлен от переменных называется симметрическим многочленом, если он не меняется при любой перестановке его переменных .

Замечание. Многочлен от переменных является симметрическим, если он не меняется при перестановке его двух любых переменных. Многочлен является симметрическим от переменных , но не является симметрическим от .

Определение. Элементарными симметрическими многочленами от переменных называются многочлены

Легко видеть, что элементарные симметрические многочлены представляют из себя выражения в левых частях формул Виета.

Теорема 21.2. (О старшем члене симметрического многочлена).

1) Если - старший член симметрического многочлена , то выполняется условие .

2) Для любого одночлена с условием (*) существует симметрический многочлен вида со старшим членом, равным . Причём .

Теорема 22.2. (Основная теорема о симметрических многочленах). Каждый симметрический многочлен от переменных может быть представлен как многочлен от элементарных симметрических многочленов , причём единственным образом с точностью до перестановки слагаемых.