Атты дененің ауырлық центрі

Жер бетіне жақын орналасқан дененің әр нүктесіне жердің центріне қарай вертикаль төмен бағытталған ауырлық күші әсер етеді (1.32 сурет). Егер дене өлшемдері жер өлшемдерінен әлдеқайда кіші болса, онда бұл күштерді шамалары тұрақты және бір біріне параллель деп есептеуге болады.

Берілген дене нүктелеріне әсер ететін ауырлық күштердің тең әсерлісін деп белгілейік. Осы күштің модулі дененің салмағы болады. Денені қалай қарай бұрсақ та күштері бір біріне параллель және бір нүктеге түсірілген болып қала береді. Демек, осы күштердің тең әсерлі күші , параллель күштер жүйесінің тең әсерлісі ретінде әрқашан бір нүктеден ғана өтетін болады. Дененің ауырлық центрі деп оның барлық нүктелерінің ауырлық күштерін құратын параллель күштер жүйесінің центрін атайды. Дененің ауырлық центрінің радиус-векторын және координаталарын (1.8.4) пен (1.8.5) теңдеулеріне сәйкес мына өрнектермен анықтауға болады:

(1.8.6)

(1.8.7)

мұндағы – нүктелердің радиус-векторлары мен координаталары, – нүктелердің салмақтары, ал Р – бүкіл дененің салмағы.

Егер денені жеке нүктелерге бөлуге болмаса (тұтас орта немесе континуум болса), онда денені элементар көлемдерге бөледі. Осындай көлемнің әрқайсысының салмағы көлемге пропорционал , ал дененің салмағы осы дененің көлеміне пропорционал, яғни , мұндағы - элементар көлемнің меншікті салмағы. Біртекті дене үшін - тұрақты шама болғандықтан, мен -ның мәндерін (1.8.7) теңдігіне қойсақ, қосындылардағы ортақ көбейгіш ретінде жақшаның сыртына шығарылып, бөлімдегі -мен қысқарады. Нәтижесінде, біртекті көлемнің ауырлық центрінің координаталарын аламыз:

(1.8.8)

Егер денені біртекті материалдық жазық дене деп алсақ, ауданныңауырлық центрінің координаталары мынандай болады:

(1.8.9)

мұндағы - жазық дене бөлшектерінің ауданы, - олардың ауырлық центрлерінің координаталары, - бүкіл жазық дененің ауданы.

Материялық сызықтың ауырлық центрінің координаталары мына өрнектермен анықталады:

(1.8.10)

мұндағыL - бүкіл сызықтың ұзындығы, - оныңбөлшектерінің ұзындығы.

Сонымен, біртекті дененің ауырлық центрі сәйкес көлемнің, ауданның немесе сызықтың ауырлық центрі сияқты анықталады.