Уравнения с разделяющимися переменными

Пример 25. Найти общее решение уравнения (см. М-1540, стр. 32–33). Имеем:

; ; .

Интегрируем последнее уравнение

— общее решение данного уравнения.

Однородные уравнения первого порядка

Пример 26. Решить уравнение (см. М-1540, стр. 34).

Решение. Находим ; ; . Так как правая часть зависит от , то уравнение является однородным. Делаем подстановку: , тогда и получаем , , , , , интегрируя, получим , , . Следовательно, — общее решение данного уравнения.

Линейные уравнения первого порядка

Пример 27. Найти общее решение уравнения (см. М-1540, стр. 34).

Решение. Сделаем подстановку , где и — неизвестные пока функции от . Тогда и уравнение принимает вид:

или . (9)

Выбираем так, чтобы . Решаем это уравнение , ; ; интегрируя получим: ; ; . Подставляя это значение в равенство (9) получим:

; ; ; .

Таким образом, — общее решение данного уравнения.

Замечание. Уравнение вида ,при не является линейным. Оно называется уравнением Бернулли, но решается так же, как и линейное, подстановкой .