Формула Бернулли

Испытания Бернулли (или схема повторных испытаний) – это последовательность n независимых испытаний, вероятность появления события А в каждом из которых постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях).

Обозначим вероятность P (A) появлений события А в отдельном испытании буквой p, т.е. P (A)= p. Вероятность противоположного события буквой q, т.е. . Вероятность P_n (m) того, что в n испытаниях Бернулли событие A появится ровно m раз равна

. (1.16)

Это есть формула Бернулли.

Пример 1.24. В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов. Если 3% счетов содержат ошибки, чему равна вероятность того, что аудитор: а) найдет только один счет с ошибкой; б) обнаружит не более двух счетов с ошибкой.

Решение. а) Поскольку условия данной задачи удовлетворяют требованиям биномиального распределения, т.е. отбор счетов производится независимо друг от друга, вероятность появления ошибки в каждом счете одна и та же, то для вычисления вероятностей можно воспользоваться формулой Бернулли (1.16), где n =5, p =0,03 и q =1–0,03=0,97. Тогда вероятность того, что аудитор найдет только один счет с ошибкой (m =1), будет равна

.

б) Вероятность того, что аудитор обнаружит не более двух счетов с ошибкой будет равна

Локальная теорема Муавра-Лапласа: если в схеме Бернулли число испытаний n велико, при этом npq ‡1, то справедлива приближенная формула

, (1.17)

где , .

Ввиду важности функции j(x), которая называется плотностью стандартного нормального распределения, для нее составлены специальные таблицы (см. приложение 1). При использовании таблиц следует учитывать, что функция j(x) четная, т.е. j(– x)=j(x). Для значений x >4, будем считать, что j(x)=0.

Практика показывает, что аппроксимация (1.17) хорошо проявляется в случае, если np и nq >5, и тем лучше, чем больше n (обычно достаточно n >50). Чем ближе p к 0,5, тем меньше требуется n для более точной аппроксимации.

Пример 1.25. Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей 356 окажутся стандартными.

Решение. Согласно условию задачи: n =400, m =356, p =0,9, q =0,1. Поскольку n >100 и npq =36>10, то можно применить локальную теорему Муавра-Лапласа. Найдем

.

После этого находим значение функции j(–0,6667)=0,31945. В результате получаем

.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа: если в схеме Бернулли число испытаний n велико, то вероятности того, что число успехов заключено в пределах от k ₁ до k ₂, находится по формуле:

, (1.18)

где , – функция Лапласа.

Отметим, что функция Лапласа – нечетная функция, т.е. Ф(– x) = –Ф(x), для которой составлены специальные таблицы (см. приложение 2). Обратите внимание, что 0£Ф(x)£0,5.

Отметим еще, что в некоторых учебниках за функцию Лапласа принимают вдвое большую функцию = 2Ф(x); в этом случае 0£ £1.

Пример 1.26. Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартна равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей более 350 окажутся стандартными.

Решение. Согласно условию задачи: n =400, m =350, p =0,9, q =0,1. Применим теперь интегральную теорему Муавра-Лапласа. В нашем случае k ₁=300, k ₂=400:

, ,

Пример 1.27. Авиакомпания знает, что 5% людей, делающих предварительный заказ на билет определенного рейса, не будут использовать его. Если авиакомпания продала 160 билетов на самолет, в котором лишь 155 мест, чему равна вероятность того, что место будет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и планирующего улететь?

Решение. Оценим искомую вероятность при помощи интегральной формулы Муавра-Лапласа, где n =160, k ₁=0, k ₂=155, p =0,95, q =0,05. Тогда

Таким образом, с вероятностью 0,86 место будет доступно для любого пассажира в самолете. Отметим, что более точный результат, подсчитанный при помощи формулы Бернулли, равен 0,91.