Матричная запись системы линейных уравнений

Теорема Кронекера – Капелли

Линейной системой m уравнений с n неизвестными (ЛСУ) называется система вида

(2.7)

где – коэффициент (число) при неизвестном в i -м уравнении; – свободный член в этом уравнении,

Решением ЛСУ называется такая упорядоченная совокупность чисел что при подстановке вместо соответственно в каждое уравнение системы все уравнения обращаются в верные равенства. ЛСУ называется совместной, если существует хотя бы одно решение системы (одна совокупность ), в противном случае – несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если имеет бесконечное множество решений.

Чтобы решить систему, сначала надо выяснить, совместна ли она. Для ответа на этот вопрос введем матричную запись ЛСУ.

Матрица

(2.8)

составленная из коэффициентов при неизвестных ЛСУ, называется основной матрицей системы, а матрица

(2.9)

которая получается добавлением в матрицу А столбца из свободных членов, называется расширенной матрицей ЛСУ.

Введем также матрицы-столбцы

, (2.10)

где X и В – матрицы неизвестных и свободных членов.

Тогда, используя правило умножения матриц и определение равенства двух матриц, запишем ЛСУ в матричном виде:

(2.11)

Теорема Кронекера – Капелли. Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы r(A) = при этом, если

1) то система определена и имеет единственное решение;

2) r < n, то система не определена и имеет бесконечное множество

решений.

Пример 7. Данасистема линейных уравнений:

Записать приведенную систему в матричном виде и исследовать ее на совместность.

Решение.

Введем основную и расширенную матрицы системы:

; , матрицы-столбцы ; , тогда система запишется в виде матричного уравнения:

Для вычисления r(А) и выполним элементарные преобразования над матрицей , так как матрица А является частью матрицы и .

Столбец из свободных членов в отделим вертикальной чертой и в процессе преобразований не будем его менять местами с другими столбцами матрицы А.

Выполняя элементарные преобразования над матрицей описанные в подразд. 1.5, получаем:

следовательно, r(A) = 2, r() = 3 и система несовместна, т. е. не имеет решений.