Мультиплексоров

Булева функция мультиплексора 4 на 1 имеет вид:

Анализ функции (при Е=1) показывает, что в каждую конъюнкцию входит конституента единицы, т. к. в состав мультиплексора входит дешифратор. Кроме того, мультиплексор реализует логическую сумму конъюнкций переменных. Отсюда очевидна тривиальная реализация БФ: если в любой момент времени переменные A₁А₀ принимают одно из четырех значений (00, 01, 10, 11), то чтобы получить необходимое значение выхода, нужно подать на входы D₀, D₁, D₂, D₃ соответствующее постоянное значение 0 или 1.

Задача 9.4. С помощью управляемого мультиплексорасинтезировать схему, реализующую БФ Q=Σ(1,2).

Запишем функцию Q в форме СДНФ:

.

Преобразуем функцию f к виду функции Q. Для этого переобозначим А₁=х₁ а А₀=х₂. Тогда формула 9.2 примет следующий вид:

.

Чтобы f=Q в выражении (9.2) следует переменным Е и D_k (k=0,1,2,3) присвоить значения констант D₀=D₃=0, Е=D₁=D₂=1, т. е. на входы мультиплексора подать сигналы постоянного уровня:

Схема реализации функции Q приведена на рис. 9.5.

Рис. 9.5. Тривиальная реализация функции Q на мультиплексоре

Если переменные х₁х₂ принимают значения 00 или 11, то мультиплексор коммутирует на выход значения сигнала с входов 0 или 3, т. е. нулевые значения. Если х₁х₂ принимают значения 01 или 10, то на выход поступает сигнал высокого уровня с входов 1 или 2.

Задача 9.5. С помощью управляемого мультиплексора 8 на 1синтезировать схему, реализующую БФ Z=Σ(1,3,4,5,7,9,12,14,15).

Функция Z зависит от четырех переменных, поэтому следует использовать два мультиплексора 8 на 1 с управляющими входами и собрать из них мультиплексор 16 на 1. Для реализации функции, по аналогии с задачей 9.4, на входы 1, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 14, 15 этого мультиплексора нужно подать единицу, а на остальные входы ноль. Решение задачи представлено на рис. 9.6.

Рис. 9.6. Реализация функции Z на мультиплексорах 8 на 1

Реализация БФ в задачах 9.4 и 9.5 была тривиальной. Эти задачи можно решить более экономичными способами, применяя разложение функций по переменным (формула 6.1).

Задача 9.6. Синтезировать схему, реализующую БФ Z1=Σ(0,1,3,6), с помощью неуправляемого мультиплексора 4 на 1.

Запишем функцию в СДНФ и разложим ее по переменным х₁ и х₂:

В соответствии с разложением функции на входы мультиплексора D₀, D₁, D₂ и D₃ подаются сигналы, соответствующие функциям F₀, F₁, F₂, F₃ (рис. 9.7, а).

Рис. 9.7. Реализация БФ неуправляемыми мультиплексорами:

а – БФ Z₁ от трех переменных;

б – Бф Z₂ от четырех переменных при разложении по х₁ и х₂;

в – Бф Z₂ при разложении по х₁ и х₂ на двух мультиплексорах;

г – БФ Z₂ от четырех переменных при разложении по х₃ и х₄

Задача 9.7. С помощью неуправляемого мультиплексора 8 на 1синтезировать схему, реализующую БФ Z2=Σ(1,5,9,11,13,15). Разложим функцию по переменным х₁ и х₂:

Схема, реализующая Z2, представлена на рис. 9.7 (б). При таком разложении пришлось ввести дополнительные логические элементы для реализации F₀ и F₁.

Функции F₀ и F₁ в свою очередь можно реализовать на мультиплексоре. В этом случае функцию Z2 можно реализовать на мультиплексорах по каскадной схеме включения (рис. 9.7, в).

При разложении функции Z2 по переменным х₃х₄ получается другой результат:

Схема, реализующая Z₂ при таком разложении, представлена на рис. 9.7 (г).

Если БФ зависит от значительно большего числа переменных, чем число адресных входов мультиплексора, то схема реализуется каскадным включением мультиплексоров. Алгоритм реализации при этом заключается в следующем:

1) БФ записывается в СДНФ или ДНФ;

2) функция раскладывается по тому количеству старших переменных, сколько адресных входов у мультиплексора;

3) полученные функции F₀, F₁,…,F_k, в свою очередь, точно также раскладываются по другим переменным, входящим в эти функции;

4) этот процесс продолжается до тех пор, пока БФ не будет разложена до конца.

Этот алгоритм не строго формализован и не дает однозначного решения задачи. Он осложняется в тех случаях, когда можно применять мультиплексоры с различным количеством адресных входов. Тем не менее, такой способ синтеза схемы для реализации БФ применяется довольно часто.

Задача 9.8. С помощью неуправляемого мультиплексора 4 на 1синтезировать схему, реализующую БФ:

Разложим функцию по переменным х₁х₂:

На втором шаге разложим функции F₁, F₂, F₃ по переменным х₅ и х₆:

Таким образом, с помощью мультиплексоров сначала реализуются функции F₁, F₂, F₃, а затем функция Z₃ (рис. 9.8).

Рис. 9.8. Реализация функции Z₃ при разложении по х₅ и х₆

Каждую функции F _i можно раскладывать по различным переменным. Например, F₃ – по х₄ и х₅. Полученная схема будет отличаться тем, что на адресные входы и входы данных мультиплексора, реализующего функцию F₃, будут поступать другие сигналы:

Схема, соответствующая этому разложению, представлена на рис. 9.9.

Рис. 9.9. Реализация функции Z₃ при разложении по х₄ и х₅

На рис. 9.1 представлена тривиальная реализация БФ на мультиплексорах с управляющим (стробирующим) входом. Используя разложение БФ по переменным, можно провести синтез схем, используя мультиплексоры с меньшим числом адресных входов, чем число булевых переменных, при этом на стробирующий вход подается переменная, по которой и производится разложение. Алгоритм такого синтеза заключается в следующем:

1) БФ записывается в СДНФ или ДНФ;

2) БФ раскладывается по какой-либо старшей переменной, которая будет подаваться на стробирующий вход, при этом находятся функции F₀, F₁;

3) разложение этих функций нужно продолжать до тех пор, пока промежуточные функции не станут зависеть от n+1 переменной, где n – число адресных входов мультиплексора;

4) так как выходная функция является логической функцией сложения, то на выходе нужно использовать схему ИЛИ, объединяющую выходы мультиплексоров.

Задача 9.9. С помощью мультиплексоров 4 на 1синтезировать схему, реализующую БФ Р=Σ(0,2,4,6,9,12,13,14,15).

Проведем разложение функции по х₁, которая будет подаваться на стробирующие входы мультиплексоров:

В свою очередь, функции F₀ и F₁ разложим по переменным х₂ и х₃:

Реализация функции Р на управляемых мультиплексорах представлена на (рис. 9.10).

Рис. 9.10. Реализация функции Р на управляемых мультиплексорах