Формулы сложения и их следствия

Так называются в тригонометрии формулы, позволяющие вычислить значение тригонометрической функции от суммы или разности двух чисел: sin (x + y), ctg (x-y) и т.п. Вам потребуется вывести и запомнить формулы для вычисления синуса, косинуса и тангенса суммы и разности. При этом будет удобно начать с доказательства формулы

cos(x- y) = cos x cos y + sin x sin y,

которая выводится из двух формул скалярного произведения векторов.

Задача 4. Докажите формулу косинуса разности. Укажите ОДЗ для этой формулы.

Задача 5. Докажите формулу косинуса суммы. Укажите ОДЗ для этой формулы.

Задача 6. Докажите формулу cos ( - x) = sin x. Укажите ОДЗ для этой формулы.

Задача 7. Докажите формулу cos x = sin ( - x). Укажите ОДЗ для этой формулы.

Задача 8. Докажите формулы синуса суммы и разности. Укажите ОДЗ для каждой формулы.

Задача 9. Докажите формулы тангенса суммы и разности. Укажите ОДЗ для каждой формулы.

Из формул суммы получаются важные следствия - формулы приведения, позволяющие «привести» любое значение тригонометрической функции к значению ее для угла от 0⁰ до 45⁰ (или числа от 0 до ).

Задача 10. Опишите процедуру вывода всех формул приведения. Сопроводите рассказ необходимыми примерами. Опишите способ запоминания формул приведения. Сопроводите рассказ необходимыми примерами.

Из формул сложения естественно получаются формулы для кратных аргументов: 2 х, 3 х и т.д. Нужно уметь выводить и запомнить наизусть формулы синуса, косинуса и тангенса двойного угла.

Задача 11. Докажите формулы синуса, косинуса и тангенса двойного аргумента. Укажите ОДЗ для каждой формулы. Выведите также формулы синуса и косинуса тройного аргумента.

Формула косинуса двойного аргумента имеет еще два варианта, позволяющие найти формулы для половинного аргумента.

Задача 12. Выразите cos 2 х через sin x и выведите формулу синуса половинного аргумента. Укажите ОДЗ для этой формулы.

Задача 13. Выразите cos 2 х через cos x и выведите формулу косинуса половинного аргумента. Укажите ОДЗ для этой формулы.

Задача 14. Выведите три формулы тангенса половинного аргумента. Укажите ОДЗ для каждой формулы.

Из формул сложения получаются формулы, позволяющие преобразовать произведение синуса и косинуса двух аргументов в сумму и сделать обратное преобразование.

Задача 15. Выведите формулу произведения синусов. Укажите ОДЗ для каждой формулы.

Задача 16. Выведите формулу произведения косинусов. Укажите ОДЗ.

Задача 17. Выведите формулу произведения синуса и косинуса. Укажите ОДЗ.

Задача 18. Выведите формулу суммы синусов. Укажите ОДЗ.

Задача 19. Выведите формулу разности синусов. Укажите ОДЗ.

Задача 20. Выведите формулу суммы косинусов. Укажите ОДЗ.

Задача 21. Выведите формулу разности косинусов. Укажите ОДЗ.

Домашнее задание: Галицкий, Алгебра 8-9, глава 13, №№ 73-78, 80, 82, 84, 85, 87, 89, 91, 104, 105, 108, 109, 115-201.