Графический метод

Рассмотрим примеры решения задач нелинейного програм­мирования с двумя переменными, причем их целевые функции и системы ограничений могут быть заданы в линейном и не­линейном виде. Так же как и в задачах линейного программи­рования, они могут быть решены графически.

Задача с линейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений

Пример 1. Найти глобальные экстремумы функции

при ограничениях:

Решение. Область допустимых решений — часть окруж­ности с радиусом 4, которая расположена в первой четверти (рис. 28.1).

Линиями уровня целевой функции являются параллельные прямые с угловым коэффициентом, равным -2. Глобальный минимум достигается в точке O (0, 0), глобальный максимум — в точке А касания линии уровня и окружности. Проведем че­рез точку А прямую, перпендикулярную линии уровня. Прямая проходит через начало координат, имеет угловой коэффициент 1/2 и уравнение x ₂ = 1/2 х ₁.

Решаем систему

откуда находим х ₁ = 8 /5, x ₂ = 4 /5, L = 16 /5 + 4 /5 = 4 .

Ответ. Глобальный минимум, равный нулю, достигается в точке O (0, 0), глобальный максимум, равный 4 , — в точке А (8 /5, 4 /5).

Задача с нелинейной целевой функцией и линейной системой ограничений

Пример 2. Найти глобальные экстремумы функции

при ограничениях:

Решение. Область допустимых решений — OABD (рис. 28.2). Линиями уровня будут окружности с центром в точке O ₁. Максимальное значение целевая функция имеет в точке D (9, 0), минимальное — в точке O ₁ (2, 3). Поэтому

Ответ. Глобальный максимум, равный 58, достигается в точке D (9, 0), глобальный минимум, равный нулю, — в точке O ₁ (2, 3).

Пример 3. Найти глобальные экстремумы функции

при ограничениях:

Решение. Область допустимых решений — OABD (рис. 28.3). Линии уровня представляют собой окружности с центром в точке O ₁ (6, 3). Глобальный максимум находится в точке O (0, 0) как самой удаленной от точки O ₁. Глобальный минимум расположен в точке Е, находящейся на пересечении прямой 3 x ₁ + 2 x ₂ = 15 и перпендикуляра к этой прямой, про­веденного из точки O ₁.

Найдем координаты точки Е: так как угловой коэффици­ент прямой 3 x ₁ + 2 x ₂ = 15 равен -3/2, то угловой коэффициент перпендикуляра O ₁ Е равен 2/3. Из уравнения прямой, прохо­дящей через данную точку О ₂ с угловым коэффициентом 2/3, получим

Решая систему

находим координаты точки Е: х ₁ = 51/13, x ₂ = 21/13, при этом L(Е) = 1053/169.

Координаты точки Е можно найти следующим образом: дифференцируя выражение (x ₁ — 6)² + (x ₂ - 3)² как неявную функцию по x ₁, получим

Приравниваем полученное значение к тангенсу угла накло­на прямой 3 x _­1 + 2 x ₂ = 15:

Решаем систему уравнений

получим координаты точки Е: х ₁ = 51/13, x ₂ = 21/13.

Ответ. Глобальный максимум, равный 52, находится в точке O (0, 0). Глобальный минимум, равный 1053/169, нахо­дится в точке E (51/13, 21/13).

Задача с нелинейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений

Пример 4. Найти глобальные экстремумы функции

при ограничениях:

Решение. Областью допустимых решений является ок­ружность с радиусом 4, расположенная в первой четверти (рис. 28.4). Линиями уровня будут окружности с центром в точке O ₁ (2, l).

Глобальный минимум достигается в точке O ₁. Глобальный максимум — в точке А (0, 4), при этом

Ответ. Глобальныи минимум, равный нулю, достигается в точке O ₁ (2, l), глобальный максимум, равный 13, находится в точке А (0, 4).

Пример 5. Найти глобальные экстремумы

при ограничениях:

Решение. Область допустимых решений не является вы­пуклой и состоит из двух частей (рис. 28.5). Линиями уровня являются окружности с центром в точке O (0, 0).

Найдем координаты точек А и В, решая систему

Получим А (1, 4), В (4, 1). В этих точках функция имеет гло­бальные минимумы, равные 17. Найдем координаты точек D и Е, решая системы

откуда получаем D (2/3, 6) и L(D) = 328/9, E (7, 4/7) и L(E) = 2417/49.

Ответ. Целевая функция имеет два глобальных миниму­ма, равных 17, в точках А (1, 4) и B (4, 1), глобальный макси­мум, равный 2417/49, достигается в точке E (7, 4/7).