Общая постановка задачи

Математическая модель задачи нелинейного программиро­вания в общем виде формулируется следующим образом: найти вектор = (х ₁, x ₂, …, x_n), удовлетворяющий системе ограни­чений

и доставляющий экстремум (наибольшее или наименьшее зна­чение) целевой функции

где x_j — переменные, j = ; L, f, g_i — заданные функции от n переменных, b_i — фиксированные значения.

Нелинейное программирование применяется при прогнози­ровании промышленного производства, управлении товарными ресурсами, планировании обслуживания и ремонта оборудова­ния и т.д.

Для задачи нелинейного программирования в отличие от линейных задач нет единого метода решения. В зависимости от вида целевой функции и системы ограничений разработаны специальные методы решения, к которым относятся методы множителей Лагранжа, квадратичное и выпуклое программи­рование, градиентные методы, приближенные методы реше­ния, графический метод.

Из нелинейного программирования наиболее разработаны задачи, в которых система ограничений линейная, а целевая функция нелинейная. Однако даже для таких задач оптималь­ное решение может быть найдено для определенного класса це­левых функций. Например, когда целевая функция сепарабельная, т.е. является суммой п функций f_j(x_j), или квадратичная. При этом следует отметить, что в отличие от задач линейного программирования, где точками экстремума являются верши­ны многогранника решений, в задачах с нелинейной целевой функцией точки могут находиться внутри многогранника, на его ребре или в вершине.

При решении задач нелинейного программирования для це­левой функции необходимо определить глобальный максимум или глобальный минимум. Глобальный максимум (минимум) функции — это ее наибольшее (наименьшее) значение из ло­кальных максимумов (минимумов).

Наличие локальных экстремумов затрудняет решение за­дач, так как большинство существующих методов нелинейного программирования не позволяет установить, является найден­ный экстремум локальным или глобальным. Поэтому имеется возможность в качестве оптимального решения принять ло­кальный экстремум, который может существенно отличаться от глобального.