Линейное программирование с параметром в целевой функции

Пусть коэффициент c_j целевой функции изменяется в пре­делах (c_j — c'_j,c_j + с''_j), тогда для удобства решения задачи его можно заменить выражением

где c'_j, с''_j — постоянные; λ — параметр, который изменяется в некоторых пределах (в общем случае от - до ). В общем виде задача линейного программирования с пара­метром в целевой функции записывается так:

при ограничениях:

Для каждого значения λ в промежутке δ ≤ λ ≤ φ, где δ и φ — произвольные действительные числа, найти вектор (x ₁, x ₂,..., x_п), удовлетворяющий системе ограничений и об­ращающий в максимум (минимум) целевую функцию.

Решая задачу на максимум симплексным методом и иссле­дуя ее решение в зависимости от изменения параметра λ, полу­чим выражения для определения нижнего (λ₁) и верхнего (λ₂) его значений:

где Δ "_j, — оценка симплексной таблицы, содержащая пара­метр λ; Δ '_j — оценка симплексной таблицы, не содержащая параметр λ.

Если для целевой функции отыскивается min, то границы изменения λ (λ₁ и λ₂) определяются следующим образом:

Приведем алгоритм решения.

1) Задачу решаем симплекс-методом при конкретном зна­чении параметра λ до получения оптимального решения.

2) Вычисляем значения параметров λ₁, λ₂.

3) Определяем множество значений параметра λ, для кото­рых полученное решение является оптимальным.

4) В случае необходимости в базис вводим вектор, соответ­ствующий столбцу, из которого определялось значение параметра λ₂.

5) Выбираем ключевую строку и ключевой элемент.

6) Определяем новое оптимальное решение.

7) Находим новое множество значений λ, для которых ре­шение останется оптимальным.

8) Процесс вычисления повторяем до тех пор, пока весь от­резок [ δ, φ ] не будет исследован.

Выясним геометрический смысл задачи.

Пусть L() = (c'_j + λ c''_jx_j) → max. ABCDEF — область допустимых решений (рис. 25.1). При λ = 0 строим вектор и, перемещая линию уровня MN по направлению вектора , получим в точке D оптимальное решение. Итак, (D) — оп­тимальное решение, при котором имеем L( (D)) _max. При различных значениях λ линия M'N', параллельная линии уров­ня MN, будет определенным образом поворачиваться вокруг точки D. Пусть при λ = λ₁ прямая M'N' проходит через сторо­ну CD многоугольника допустимых решений, а при λ = λ₂ — через сторону DE. Тогда значения (D) _опт и L( (D)) _max не изменятся до тех пор, пока λ₁ ≤ λ ≤ λ₂. Такая картина будет повторяться до получения нового оптимального решения, соот­ветствующего новой целевой функции, для которой существует свой диапазон изменения λ.