Геометрический смысл решений неравенств, уравнений и их систем

Рассмотрим решения неравенств.

Теорема 2.3. Множество решений неравенства с двумя переменными

(2.2)

является одной из двух плоскостей, на которые вся плоскость делится прямой , включая и эту прямую, а другую полуплоскость с той же прямой есть множество решений неравенства

(2.3)

Пример 2.4. Построить множество решений неравенства:

а) ; б) .

Решение. В соответствии с теоремой 2.3 множество решений неравенства есть полуплоскость.

а) построим границу полуплоскости – прямую , найдя точки ее пересечения с осями координат A (-4;-0) и B (0;3) на рис. 2.7, a

Рис. 2.7

Для определения искомой полуплоскости (верхней или нижней) рекомендуется задать произвольную контрольную точку, не лежащую на ее границе — построенной прямой. Если неравенство выполняется в контрольной точке, то оно выполняется и во всех точках полуплоскости, содержащей контрольную точку, и не выполняется во всех точках другой полуплоскости. И наоборот, в случае невыполнения неравенства контрольной точке оно не выполняется во всех точках плоскости, содержащей контрольную точку, и выполняется всех точках другой полуплоскости.

В качестве контрольной точки удобно взять начало координат O (0;0), не лежащее на построенной прямой. Координаты точки O не удовлетворяют неравенству: , следовательно, решением данного неравенства является нижняя полуплоскость, не содержащая контрольную точку O. Искомая полуплоскость выделена штриховкой.

б) Построим границу полуплоскости — прямую по двум точкам. Одной из этих точек является начало координат на рис. 2.7, б (в уравнении прямой отсутствует свободный член), а другую точку берем на прямой произвольно, например, А (2;3) на рис. 2.7,б. В качестве контрольной возьмем, например, точку В (1;0). Самую "простую" точку О (0;0) здесь в качестве контрольной брать не следует, ибо она лежит на по­строенной прямой. Так как координаты контрольной точки В( 1;0) удовлетворяют неравенству, т.е. , то реше­нием данного неравенства является нижняя (правая) полу­плоскость, содержащая эту точку.

Учитывая, что множество точек, удовлетворяющих уравне­нию (2.4) при n = 3 является плоскостью, а при n > 3 ее обобщением в n -мерном пространстве – гиперплоскостью, можно распрост­ранить теорему 2.3 на случай 3 и более переменных.

Теорема 2.4. Множество всех решений линейного неравен­ства с n переменными является одним из полупространств, на которые все простран­ство делится плоскостью или гиперплоскостью (2.4), включая и эту плоскость (гиперплоскость).

Рассмотрим множество решений системы неравенств.

Теорема 2.5. Множество решений совместной системы т ли­нейных неравенств с двумя переменными

является выпуклым многоугольником (или выпуклой много­угольной областью).

Пример 2.5. Построить множество решений системы неравенств

Решение. Для построения искомого множества решений системы неравенств строим последовательно множество решений каждого неравенства аналогично тому, как это делалось в примере 2.4. Рекомендуем после нахождения каждой полуплоскости и выделения ее соответствующей штриховкой находить последовательно их пересечение: сначала полуплоскостей решений первых двух неравенств (многоугольной области GFD на рис. 2.8), затем первых трех неравенств (треугольника GFD), затем — четырех неравенств (четырехугольника HAFD) затем — пяти неравенств (пятиугольника OAFDE) и наконец всех шести неравенств — выпуклого многоугольника OABCDE.

Рис.2.8

Координаты угловых точек — вершин этого многоугольника найдем как координаты точек пересечения соответствующих прямых. Например, точка D является точкой пересечения прямых II и III, т.е. ее координаты являются решением системы

откуда , т.е. D (9;2). Аналогично находим координаты других угловых точек: O (0;0), A (0;5), B (4/5;6), C (3;6), E (3;0)

При построении областей решении систем неравенств могут встретиться и другие случаи: множество решений — выпуклая многоугольная область; одна точка; пустое множество, когда система неравенств несовместима (рис. 2.9, а, б, в).

Рис.2.9

Теорема 2.6. Множество решений совместной системы m линейных неравенств с n переменными является выпуклым многогранником (выпуклой многогранной областью) в п -мерном пространстве.

Теорема 2.7. Множество всех допустимых решений совместной системы m линейных уравнений с п переменными (т < n) является выпуклым многогранником (выпуклой многогранной областью) в n -мерном пространстве.

Пример 2.6. Построить множество допустимых решений:

а) уравнения ;

б) системы уравнений

Решение.

Рис 2.10

а) Рассмотрим частный случай системы линейных уравнений (m < n), содержащей n =2 переменных, т.е. состоящей из одного уравнения есть прямая , а множестве допустимых решений (при дополнительном условии ) – точки отрезка АВ (рис. 2.10, а), который можно рассматривать как частный случай выпуклого многогранника с двумя угловыми точками А (3;0) и В (0;2).

б) Построить непосредственно множество решений системы уравнений с n = 4 (n > 3) переменными не представляется возможным. В данном случае (когда разность между числом переменных и уравнений n - m = 2) можно поступить так: разобьем все переменные на основные, например х ₃ и х ₄ (определитель коэффициентов при них отличен от нуля) и неосновные (свободные) переменные х ₁ и х ₂ и вместо множества решений системы построим множество значений их неосновных переменных (выполнить это возможно, так как их всего две).

С этой целью выразим основные переменные через неосновные:

Так как рассматриваются допустимые значения переменных, т.е. , то

Решениями полученной таким образом системы неравенств (являются точки четырехугольника ABCD на рис. 2.10, б с че­тырьмя угловыми точками А (0; 1), В (0;4), С (6;0), В (l;0).

В данном примере графические построения проведены не в пространстве всех переменных, а в плоскости двух неосновных переменных х ₁, х ₂. Но так как любой паре неосновных нере­шенных х ₁, х ₂ соответствуют определенные значения основных переменных х ₃, х ₄, а следовательно, одно и только одно решение данной системы уравнений, то каждой точке построенного четырехугольника ABCD соответствует одна и только одна точка множества допустимых решений системы уравнений.