Дисперсионный анализ

Метод дисперсионного анализа, разработанный Р.Фишером, в настоящее время широко используется при обработке различных материалов в опытах с животными. Дисперсионный анализ применяют при определении коэффициентов наследуемости (h²), оценке производителей по качеству потомства, выявлению доли генотипической и паратипической изменчивости признаков. Использование дисперсионного анализа при обработке массовых материалов генетического плана дает возможность выявить долю влияния одного или нескольких факторов на вариабельность признака.

В зависимости от числа учитываемых факторов дисперсионный анализ может быть однофакторным или многофакторным. Обычно каждый изучаемый фактор представлен в виде нескольких групп, называемых градациями.

Основное назначение дисперсионного анализа - вычленить из общей изменчивости признаков факториальную изменчивость, обусловленную воздействием учтенных в опыте факторов, и изменчивость остаточную. С помощью дисперсионного анализа можно установить также долю влияния учтенных факторов на общую изменчивость признака и статистическую достоверность этого влияния.

Показателями изменчивости при дисперсионном анализе служат дисперсии. Различают общую дисперсию (С_у), факториальную (С_x) и остаточную (С_z).

Общая дисперсия - это сумма квадратов центральных отклонений всех вариантов изучаемой совокупности. Формула определения общей дисперсии имеет следующий вид:

; где С_y - общая дисперсия,

∑V² - сумма квадратов отклонений,

(∑V) - сумма вариантов, n – объем наблюдений

Факториальная дисперсия является частью общей и характеризует ту часть изменчивости, которая обусловлена действием изучаемого фактора. Она вычисляется по формуле:

; где Сх - факториальная дисперсия,

V - cумма вариантов,

n - число наблюдений,

∑ (∑V_i) - сумма сумм вариантов в квадрате.

Для вычисления остаточной дисперсии используют свойство общей дисперсии, согласно которому: С_y = С_x + С_z, отсюда С_z = С_y - С_x.

Зная все три дисперсии, можно установить силу влияния изучаемого фактора на общую изменчивость признака. Сила влияния определяется в долях единицы или процентах по следующей формуле:

С_x где η² - доля влияния изучаемого фактора,

η² = ────; С_x - факториальная дисперсия,

С_y С_y - общая дисперсия.

Цифровые материалы при дисперсионном анализе сводятся в таблицу статистического комплекса. Таблица состоит из граф и строк, образующих клетки, по которым разносят данные, характеризующие величину варьирующего признака. В ходе дисперсионного анализа вычисляют средние арифметические по всему комплексу (М_общ), частные средние по градациям (М_i), определяют вариацию признака, находят дисперсии и долю влияния изучаемого фактора.

Рассмотрим ход проведения однофакторного дисперсионного анализа на примере определения влияния быков-производителей на живую массу новорожденных телят. Для этого нужно учесть живую массу новорожденных телят от нескольких быков-производителей, используемых на коровах-аналогах. Полученные результаты оформляют в виде таблицы дисперсионного комплекса (табл.15).

При проведении дисперсионного анализа для упрощения расчетов часто применяют кодирование, это не влияет на конечный результат. В нашем примере удобно все значения вариантов уменьшить на 30. Отняв от каждого из вариантов это число, мы переведем значения вариантов в единицы кода, и в дальнейшем будем выполнять все расчеты с кодированными значениями. Для проведения расчетов сначала найдем число вариантов по группам (n_i) и по комплексу (n). Так как в нашем примере учтено по 10 телят от каждого из трех быков, то n = 10 + 10 + 10 = 30. Затем вычисляем сумму вариантов по отдельным быкам ∑V_i и по комплексу ∑V = (-37) + (-14) + 32 = -19. Для нахождения величины ∑V² возводим каждую из вариантов в квадрат, полученные результаты суммируем отдельно по каждой градации ∑V_i² и по комплексу ∑V² = 203 + 88 + 288 = 579. Величину ∑(∑V_i)² находят путем возведения в квадрат значений (∑V_i) по каждой графе и последующего сложения полученных величин ∑(∑V_i)² = 1369 + 196 + 1024 = 2589. После нахождения этих значений по формулам вычисляем общую и факториальную дисперсии.

15. Общая схема проведения дисперсионного анализа

Услов-ные обозна-чения	Быки – производители	В целом по комплексу
Прибой	Вихрь	Буйный
масса телят, кг	ед. кода	масса телят, кг	ед. кода	масса телят, кг	ед. кода
		-2 -2 -4 -3 -6 -5 -8 -4 -3		-2 -3 -4 -5 -3 -1		-4 -2 -1
ni ∑Vi ∑Vi2 (∑Vi)2		-37		-14			n=30 ∑V = -19 ∑V2 = 579 ∑(∑Vi)2 = 2589

Влияние изучаемого фактора находим по формуле:

С_x 246,9

η² = ──── = ──── = 0,43 (или 43%)

С_y 567

Это значит, что быки-производители, то есть отцы, оказывают влияние на изменчивость массы телят при рождении и доля этого влияния составляет 43%.

Задачи для проведения дисперсионного анализа

1. С помощью дисперсионного анализа определить влияние уровня кормления на настриг шерсти по следующим данным:

Настриг шерсти овец при разных уровнях кормления, кг

Уровень кормления
на 15 % ниже нормы	норма	на 15 % выше нормы
4,0 4,2 4,0 4,3 5,2	4,6 3,9 4,0 4,0 4,6	3,8 4,0 4,1 4,5 4,8	4,1 4,8 5,5 4,5 5,1	4,7 5,0 4,6 5,5 4,7	5,3 6,0 4,5 4,5 5,8	5,2 5,8 4,8 4,9 5,2	6,5 4,5 4,8 5,4 6,0	5,7 6,3 5,2 5,6 6,1

2. С помощью дисперсионного анализа определить, в какой степени удой коров зависит от их возраста.

Удой коров в разном возрасте, ц

1-я лактация 2-я лактация 3-я лактация

25,8 21,9 32,0 35,8 36,5 43,7

23,4 33,3 28,5 40,5 32,7 50,7

30,2 28,4 38,4 34,7 40,6 48,1

22,6 21,7 30,9 28,4 37,1 36,2

26,7 29,3 38,6 36,8 39,5 44,8

3. Определить степень влияния быков-производителей на удой и жирномолочность дочерей, используя данные, приведенные в таблице

Удой дочерей за 305 дн., ц	Жирность молока дочерей, %
Орлик	Кулик	Волчок	Орлик	Кулик	Волчок
34,3 32,3 24,2 37,0 34,3 34,3 32,9 41,1 43,1 43,3	47,9 46,0 32,2 37,1 58,3 43,8 39,1 30,2 36,1 34,9	31,3 29,1 32,4 37,5 36,3 38,1 35,5 30,2 36,1 34,9	3,7 3,9 3,8 3,5 3,6 3,7 3,5 3,8 3,6 3,6	4,1 3,9 4,0 3,8 3,9 4,0 4,0 4,1 4,0 3,9	3,9 3,9 3,8 3,7 3,8 3,9 3,8 3,7 3,9 4,0

4. По данным развития телок симментальской породы от разных быков установить долю влияния отца на их живую массу в различном возрасте.

Масса телок от разных быков в 6-, 9- и 15-месячном возрасте, кг

Клевер 234	Жемчуг 45	Гром 321

5. Установить, в какой степени скорость молокоотдачи у коров зависит от их

удоя.

Скорость молокоотдачи коров с разными удоями, кг/мин

Удой коров за 305 дней, кг
2000-3000	3001-4000	4001-5000	5001 и более
1,03 1,27 1,40 1,56 1,15 1,33 1,44 1,09 0,95 1,23	1,35 1,26 1,68 1,10 1,43 1,97 1,26 1,65 1,40 1,36	1,83 1,90 1,65 1,40 1,37 1,15 1,98 1,70 1,85 1,53	2,25 1,87 1,56 1,68 1,95 1,65 1,80 1,73 2,00 1,75

6. Используя метод дисперсионного анализа, определить влияние породы овец на настриг шерсти

Настриг шерсти у овец разных пород, кг