Наращение по простой процентной ставке

Формула наращения. Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита и т.п.) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока. Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы долга на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной.

Введем обозначения:

- проценты за весь срок ссуды;

- первоначальная сумма долга;

- наращенная сумма, или сумма в конце срока;

- ставка наращения (десятичная дробь);

- срок ссуды.

Срок обычно измеряется в годах; соответственно - годовая ставка. Каждый год приносит проценты в сумме . Начисленные за весь срок проценты составят

Наращенная сумма

(1.1)

Эту формулу называют формулой простых процентов, а множитель - множителем наращения простых процентов. График роста по простым процентам представлен на рис. 1.1.

S

P

S

Pi

Pni

0 1 2 … n t Рис. 1.1

Расчет процентов для краткосрочных ссуд. Обычно к наращению по простым процентам прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до одного года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору. Поскольку в контракте обычно фиксируется годовая ставка, то при сроке ссуды менее года необходимо определить, какая часть годового процента уплачивается кредитору.

Выразим общий срок ссуды в виде дроби:

,

где - число дней ссуды;

- число дней в году, или временная база.

Если = 360 (12 месяцев по 30 дней), то получают обыкновенные проценты, а при использовании действительной продолжительности года получают точные проценты.

Число дней ссуды также можно измерить приближенно и точно. В первом случае считается, что любой месяц содержит 30 дней. Точное число дней ссуды определяется подсчетом числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день.

На практике применяются три варианта расчета простых процентов:

а) точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант дает самые точные результаты и обозначается 365/365.

б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод также называется банковским и обозначается 365/360.

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Применяется при промежуточных расчетах и обозначается 360/360.

Пример 1.1.Ссуда в размере 1000 руб. выдана 1 марта до 1 июня под 20% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока? Число дней ссуды: точное - 92, приближенное - 90. 1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365): руб.   2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360): руб. 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360): руб.

Переменные ставки. В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. При простых ставках наращения на конец срока сумма

, (1.2)

где - ставка простых процентов в периоде

- продолжительность периода, .

Пример 1.2.Контракт предусматривает начисление процентов: первый год - ставка 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года.

банки практикуют начисление и выплату процентов ежеквартально или ежемесячно, причем начисление производится по постоянной или растущей процентной ставке. Для этого в контракте фиксируются годовые ставки, по которым определяются размеры квартальных или месячных ставок. Годовые ставки в этом случае называют номинальными. Например: банк предлагает следующие номинальные ставки для поквартального начисления и выплаты процентов: 20, 24, 28, 32%. Т.о. за первый квартал выплачивается 20/4 = 5%, за второй 24/4 = 6% и т.д.

Реинвестирование. В практике при инвестировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока, т.е. к реинвестированию полученных на каждом этапе наращения средств. Наращенная сумма для всего срока составит

(1.3)

где - ставки, по которым производится реинвестирование.

Если периоды начисления и ставки не изменяются во времени, то

, (1.4)

где - количество реинвестиций.