Абсолютные, относительные и средние величины. Среднеарифметическая, простая и взвешенная средняя гармоническая, средняя хронологическая

Анализ экономических показателей, явлений и процессов начинается, как правило, с использования абсолютных величин. При этом в процессе анализа используется не только исходные показатели, имеющиеся в плане (прогнозе) учете и отчетности, но и производственные аналитические показатели, исчисляют на основе преобразования исходных показателей. Производственные аналитические показатели позволяют полнее охарактеризовать различные стороны производственно-хозяйственной деятельности и их влияние на конечный результат. В практике аналитической работы чаще всего пользуются полученными в результате преобразования абсолютных данных относительными и средними величинами. Отличительной особенностью относительных величин является то, что они выражают результат соотношения общих (итоговых, суммарных) или индивидуальных абсолютных величин.

По содержанию относительные величины можно подразделить на следующие виды:

планового (прогнозного) задания;

выполнения плана (прогноза);

структуры;

координации;

динамики;

сравнения, характеризующие соотношения одноименных абсолютных величин;

интенсивные, предоставляющие собой соотношение разноименных, но связаны между собой абсолютных величин.

Различные виды относительных величин могут иметь разнообразные формы своего выражения, то есть выражаться в различных единицах измерения. Наиболее распространенными формами их выражения являются коэффициенты и проценты. Коэффициент предоставляет постоянную или известную величину, являющуюся множителем другой, как правило, переменной или неизвестной величины. Коэффициент – такая величина, которая получена в результате сопоставления двух однородных внутренне связанных между собой показателей, один из которых принимается за единицу. Особой формой относительных величин являются проценты, при которых производится сравнение, принимаются не за 1, а за 100.

Для обобщающей характеристики массовых, качественно однородных экономических явлений и показателей пользуются средними величинами. Средняя величина определяет типичное свойство изучаемой совокупности, позволяет определить общие тенденции и закономерности в развитии процессов и явлений. Средняя величина выражает наиболее существенную особенность изучаемой однородной совокупности объектов и устанавливает наиболее типичные черты этой совокупности путем обобщения количественной вариации (изменения) присущего всем единицам совокупности признака, которым и характеризуется изучается совокупность.

Виды средних величин различаются прежде всего тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.

Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака (сумма значений признака) в изучаемой совокупности сохраняется неизменным. Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина – это среднее слагаемое, то есть при ее вычислении общий объем (сумма всех значений) признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. Исходя из определения, формула средней арифметической величины имеет вид

По этой формуле вычисляются средние величины первичных признаков, если известны индивидуальные (отдельные) значения признака. Если изучаемая совокупность велика, то исходная информация чаще представляет собой ряд распределения или группировку, как, например, следующая таблица, где приведен условный пример дискретного ряда распределения студентов по возрасту:

Возраст, Х
Число студентов, f

Средний возраст должен представлять собой результат равномерного распределения общего (суммарного) возраста всех студентов. Общий (суммарный) возраст всех студентов, согласно исходной информации в вышеприведенной таблице, можно получить как сумму произведений значений признака в каждой группе Xi, на число студентов с таким возрастом fi (частоты). Получим формулу:

Такую форму средней арифметической величины называют взвешенной арифметической средней. В качестве весов здесь выступают количество единиц совокупности (fi) в разных группах. Название «вес» выражает тот факт, что разные значения признака имеют неодинаковую «важность» при расчете средней величины. «Важнее», весомее возраст студентов 18, 19, 20 лет, а такие значения возраста как 17, 20 или 21 при расчете средней не играют большой роли – их «вес» мал. По формуле средней арифметической взвешенной по данным в условном примере получим:

Как видим, средняя арифметическая величина может быть дробным числом, если даже индивидуальные значения признака могут принимать только целые значения. Ничего необычного для метода средних в этом не заключено, так как из сущности средней не следует, что она обязана быть реальным значением признака, которое могло бы встретиться у какой-либо единицы совокупности.

Когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам Xi совокупности, а представлена как их произведение Xf, тогда применяется формула средней гармонической взвешенной, для получения которой обозначим Xf=w, откуда f=w/X, и, подставив эти обозначения в формулу средней арифметической взвешенной, получим формулу средней гармонической взвешенной:

Таким образом, средняя гармоническая взвешенная применяется тогда, когда неизвестны действительные веса f, а известно w=Xf. В тех случаях, когда вес каждого варианта w=1, то есть индивидуальные значения X встречаются по 1 разу, применяется формула средней гармонической простой:

Если интервалы между наблюдениями расположены через равные промежутки времени, то используют формулу простой хронологической средней:

Средней хронологической называется величина, исчисленная из абсолютных величин, образующих ряды динамики. Средними хронологическими величинами пользуются для характеристики средних уровней явлений за определенные промежутки времени.