Экстремум функции двух переменных

Опр. Функция Z=f(x,y), в точке (х₀;у₀) будет иметь минимум, если для всех других точек с координатами (х;у) будет выполнено следующее условие: f(х₀;у₀)<f(x,y)

Опр. Функция Z=f(x,y), в точке (х₀;у₀) будет иметь максимум, если для всех других точек с координатами (х;у) будет выполнено следующее условие: f(х₀;у₀)>f(x,y)

Максимум и минимум функции как и в случае функции одной переменной будем называть экстремумами функции.

Теорема1: (необходимое условие существования экстремума)

Если функция Z=f(x,y) имеет экстремум в точке (х₀;у₀), то ее частные производные, первого порядка, в этой точке равны нулю.

Т.е. если для Z=f(x,y) (х₀;у₀)–экстремум Û

Точки в которых производная равна нулю называют критическими точками.

Теорема2: (достаточное условие существования экстремума)

Пусть функция Z=f(x,y)-непрерывная в области определения вместе со своими производными и точка М₀(х₀;у₀)–критическая точка, обозначим

А= B= C=

если АС–В²>0, то функция имеет экстремум в точке М₀, причем

1. минимум, если А>0
2. максимум, если А<0
3. если АС–В²<0, то точка Мо(х₀;у₀)– не является точкой экстремума
4. если АС–В² =0, то нужны дополнительные исследования на определение точек экстремума (сомнительный случай)