Лекция 3. Геометрические характеристики плоских сечений

Статические моменты сечения. Любое сечение бруса имеет определенную геометрическую форму и площадь (рис.7).

Выделим в сечение элементарную площадку , положение которой определено координатами x и y. Статическим моментом сечения называется интеграл по площади произведения элементарной

площадки на расстояние до оси. Статические моменты сечения относительно осей x и y будут соответственно равны

Определение центра тяжести сечения. Статические моменты сечения относительно осей проходящих через центр тяжести равны нулю, поэтому их используют для определения координат центров тяжести сечения. Для этого проводят вспомогательные оси x и y и координаты центра тяжести сечения определяют по зависимостям:

.

Моменты инерции сечения. Осевым моментом инерции сечения называется интеграл по площади произведения элементарной площадки на квадрат расстояния до оси. Осевые моменты инерции сечения относительно осей x и y будут соответственно равны

Полярным моментом инерции сечения называется интеграл по площади произведения элементарной площадки на квадрат расстояния до начало координат.

Учитывая, что , получаем

Полярный момент инерции сечения равен сумме осевых моментов инерции сечения.

Центробежным моментом инерции сечения называется интеграл по площади произведения элементарной площадки на расстояния до осей.

Если сечение имеет ось симметрии, то центробежный момент инерции сечения равен нулю.

Определение моментов инерции простых геометрических фигур. Рассмотрим определения момента инерции прямоугольного сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести (рис. 8).

Выделим элементарную площадь на расстоянии от центральной оси толщиной . Согласно определению, осевой момент инерции относительно оси равен

.

В нашем случае элементарная площадь . Подставляя значения и изменяя пределы интегрирования, получаем

.

Аналогичным образом определяются моменты инерции плоского сечения.

Рис.9

Если известен момент инерции сечения относительно оси проходящей через центр тяжести (рис. 9), то момент инерции относительно другой параллельной оси, отстоящей на расстоянии , определяется по формуле Штейнера

.

Если сечение имеет сложную геометрическую форму, то его разбивают на простые фигуры и его момент инерции рассчитывают, как сумму моментов инерции отдельных фигур.

Найдем зависимость между моментами инерции относительно осей х, у и моментами инерции относительно осей u,v, повернутых на угол . Угол считается положительным, если поворот осуществляется и против часовой стрелки. Пусть координаты элементарной площадки до поворота – x, y, после поворота – u,v (рис. 10).

Из рисунка следует:

.

Рис. 10

В этом случае

Главные оси инерции и главные моменты инерции. С изменением угла поворота осей каждая из величин и меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такое значение , при котором моменты инерции достигают экстремальных значений, т.е. один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время другой момент инерции принимает минимальное значение. Для нахождения значения возьмем первую производную от и приравняем ее нулю:

откуда

Нетрудно показать, что центробежный момент относительно осей, повернутых на угол , равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями.

Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда является одной из главных центральных осей инерции сечения.

Момент сопротивления сечения. Момент сопротивления сечения относительно оси представляет собой отношение момента инерции относительно данной оси к расстоянию до наиболее удаленной точки сечения от этой же оси.

.

Момент сопротивления прямоугольного сечения, изображенного на рис. 8, относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен

.

Полярный момент инерции представляет собой отношение полярного момента инерции к наибольшему расстоянию от центра тяжести сечения до наиболее удаленной точки сечения