Надежность

Дискретизация осуществляется тем точнее, чем ближе интер­вал сетки стремится к нулю. Разность между дискретизованным уравне­нием и точным решением называют погрешностью ме­тода. Она обычно оценивается заменой всех значений дискрет­ной аппрок­симации в узлах разложением в ряд Тейлора в каж­дой отдельной точке. В результате восстанавливается оригиналь­ное дифферин­циальное уравнение плюс остаточный член, кото­рый представ­ляет погрешность метода. Для обеспечения надеж­ности метода, погрешность метода должна стремиться к нулю, когда интервал сетки Dt→®0 и/или Dx_i→®0. Погрешность метода обычно пропор­циональна степени интервала сетки Dx_i и/или шага по вре­мени Dt. Если самый важный член пропорциона­лен (Dx)^n, или (Dt)ⁿ метод называется аппроксимацией эн­ного порядка. Для надежноститребуется чтобы n>0. В идеале, все члены должны быть дискретизованы с аппроксимациями од­ного порядка точности; однако, некоторые члены (например, конвективные члены в по­токах с высоким числом Рейнольдса или диффузионные члены в потоках с низким числом Рей­нольдса), могут быть доминирую­щими в данном потоке, и это может потребовать расчета с большей точностью, чем других.

Некоторые методы дискретизации приводят к погрешностям метода, которые являются функциями отношения Dx_i к Dt или наоборот. В таком случае, требование надежности выполняется только при условии когда Dx_i и Dt должны уменьшаться так, чтобы соответствующее отношение стремилось к нулю.

Даже если аппроксимации последовательны, это не обяза­тельно означает, что решение дискретизованной системы урав­нений станет точным решением дифференциального уравнения при неограниченном уменьшении размера шага. Для того, чтобы это произошло, метод решения должен быть устойчивым.