Локальный экстремум. 64 1)точка называется точкой локального максимума (минимума) ф-ции ,если существует такая -окрестн

64 1)Точка называется точкой локального максимума (минимума) ф-ции ,если существует такая -окрестность, точки в которой для любой точки - выполняется неравенство

2) Для того, чтобы дифференцируемая ф-ция имела локальный экстремум в точке , необходимо, чтобы все ее частные производные первого порядка в этой точке были равны 0.

65) 1)для того чтобы дифференцируемая функция имела локальный экстремум в точке а, необходимо, чтобы все ее частные производные первого порядка в этой точке были равны 0.

f’_x=2xy⁴ 2xy⁴=0

f’_y=4x²y³ 4x²y³=0

Подставим координаты точки в оба уравнения и получим два верных равенства. Значит, данная точка является стационарной, то есть точкой “подозрительной” на экстремум.

2) для того чтобы дифференцируемая функция имела локальный экстремум в точке а, необходимо, чтобы определитель вида f’’_xx f’’_xy был больше 0.

f’’_xy f’’_yy

f’’_xx=2y⁴ 2y⁴ 8xy³ =0

f’’_yy=12x²y² 8xy³ 12x²y²

f’’_xy=8xy³

Определитель равен 0, однако поскольку для всех значений (x,y) f(x,y)>f(0,0), то данная точка является глобальным экстремумом, а значит, является и локальным экстремумом.

66) Имеет ли функция f(x,y)=x²+y² локальный экстремум в точке (0, 0)?

1)f’_x=2x 2x=0 верно, значит данная точка является стационарной

f’_y=2y 2y=0

2) f’’_xx=2 2 0 =4-0=4>0, значит (0,0) - точка локального экстремума, f’’_xx>0, значит точка

f’’_yy=2 0 2 локального min

f’’_xy=0

67) Докажите, что функция f(x,y)=x²+y²: а) не имеет локального

экстремума в точке (1, 1), б) имеет в этой точке условный локальный

экстремум при наличии связи x+y=2.

а)найдем частные производные первого порядка

f’_x=2x 2x=0, координаты данной точки не являются решениями данных уравнений,

f’_y=2y 2y=0 значит (1,1) не является точкой локального экстремума.

б) применим метод множителей Лагранжа, получим f(x,y)=x²+y²+λ(x+y-2), найдем частные производные первого порядка

f’_x=2x+λ 2x+λ=0 x=y

f’_y=2y+λ 2y+λ=0 x=1

f’_λ=x+y-2 x+y-2=0 y=1

f’’_xx=2 2 0 =4>0, значит точка локального экстремума, f’’_xx>2, значит точка локального

f’’_yy=2 0 2 min

f’’_xy=0