 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Закон и функция равномерного распределения д.с.в
|
|
Пример 1. Пусть подбрасывается монета. Если выпадет О (рел), то припишем этому событию значение 1, если выпадет Р (ешка), то припишем этому событию значение 2. Можно сказать, что в результате эксперимента появляется случайная величина X имеющая всего два значения 1 или 2. Вероятности этих значений равны по 1/2.
Замечание. Значение случайной величине можно было приписать и 0 и 1, как в предыдущем параграфе или другие значения. Это зависит от назначения задачи, но выбор значений не влияет на все дальнейшие рассуждения по существу математического дела. Саму с.в. обозначили буквой Х, вместо x.
1) Закон можно задать следующей простой таблицей.
| X | x 1= 1 | x 2 = 2 |
| p | 1/2 | 1/2 |
2)Аналитическая формула закона совсем простая 
3)Графически закон будет изображаться дискретным графиком
Областью определения закона распределения является два значения X = { x: 1, 2 }. Областью значений закона является одно значение P ={ p: 0.5 }.
В результате эксперимента случайная величина X принимает одно и только одно из значений x 1 = 1 или x 2 = 2. Эти события образуют полную группу несовместных событий и поэтому сумма вероятностей равна р 1+ р 2=1.
Определение.Равномерным распределением д.с.в. является такой закон распределения, когда все значения с.в. xi, i= 1, n появляются с одной и той же вероятностью p= 1 /n.
Имея закон распределения легко построить и функцию распределения.
Познакомимся с функцией распределения.
Пусть x ∊ R - действительное число, R - множество действительных чисел. В законе распределения 
указана вероятность события x = x i. Зададимся вопросом, о том, чему равна вероятность P события x < xi. Это и будет функцией распределения, которую обозначают F (x).
Определение. Функцией распределения случайной величины (безразлично дискретной или непрерывной) называют функцию F (x), с помощью которой определяют вероятность, того, что в результате эксперимента случайная величина примет значение меньшее x, т.е. 
Имея закон распределения 
легко построить и функцию распределения .
Построим её для нашей задачи.
а)Пусть x ≤ x1 =1. Тогда вероятность того, что случайная величина примет значениеменьшее 1, очевидно равно нулю P (X < 1) = 0, так как при выпадении орла, с.в. принимает значение 1, а решки значение 2 и меньшее значение выпасть не может.
б) Пусть число x заключено в полуинтервале x1= 1 < x ≤ x2 =2 тогда вероятность P (X < x) =1/2. Вероятность события 1 < X≤ 2 равна 1/2, так как при выпадении орла, с.в. принимает значение 1, а решки значение 2 и если взять, например x = 1.3, то вероятность того, что с.в. примет значение X меньшее x = 1.3 будет только в том случае, когда выпадет орёл, а это событие осуществляется с вероятностью 1/2.
c) Пусть x > x2 =2, Вероятность события X < х равна 1, так как при выпадении орла, с.в. принимает значение 1, а решки значение 2 и если взять, например x = 2.2, то вероятность того, что с.в. примет значение X меньшее x =2 .2 будет осуществляется всегда. При любой реализации эксперимента по подбрасыванию монеты, получим X равное либо 1, либо 2 и в любом случае это меньше чем 2.2.
Запишем результат этих рассуждений в виде аналитической формулы
.
Функцию 
можно рассматривать как сумму вероятностей 
, где 
, за исключением самих точек, когда 
. Таким образом, назначение функции распределения отражать “накопление” вероятности.
График этой функции представляется в виде кусочно-постоянной функции, имеющее разрывы первого рода в двух точках.
Следует отметить, что оба способа задания с.в. (с помощь закона и функции распределения) совершенно равноправны и, имея одну из них, всегда можно построить другую.
Областью определения функции F (x) является все множество действительных чисел X = { x: - ¥ < x < + ¥ }. Областью значений функции является отрезок P = { p: 0 ≤ p ≤ 1}.
Пример. Дан кусок металла массой 1 кг. Из него сделаны 2 шар массами m 1 = 1/2(кг/шар) и m 2 = 1/2(кг/шар). Для большей аналогии с предыдущей вероятностной задачей, шары будем нумеровать с нуля:
1-0.5; 2-0.5.
Функция 
, отражающую зависимость массы шара от номера шара будет иметь в точности вид на рис.
Требуется построить функцию 
, k = 1 - 2, которая равна массе всех шаров от 0 до k, где k - меняется от 0 до 2. По этой функции построить функцию 
, где [ х ] - целая часть от действительного числа x.
Решение дано на следующих рисунках.
На этом графике ордината первой точки соответствует массе первого шара, ордината второй точки сумме масс первого и второго шара.
Этот график получен из предыдущего, по формуле , где [ х ] - целая часть от действительного числа x. Он отражает как бы “накопляемую массу”при переходе от номера шара к следующему номеру. С физической точки зрения он конечно не даёт ничего нового по сравнению с графиком 
, k = 1 - 2, но практически идейно совпадает с функцией распределения вероятностей.
П р и м е р 2. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании 2 монет одновременно. В результате проведения такого эксперимента имеется четыре результата ОО, ОР, РО, РР, которым припишем номера 0, 1, 2, 3. Говорят, что при проведении эксперимента случайная величина X может принят четыре числовых значений X = { x: 0, 1, 2, 3}.
1) Табличный способ. Закон можно задать следующей простой таблицей.
| Х | x 1= 0 | x 2 = 1 | x 3= 2 | x 4= 3 |
| pi | 1/4 | 1/4 | 1/4 | 1/4 |
В результате эксперимента случайная величина принимает одно и только одно из значений X=x 1 = 1 или Х=x 2 = 2 или X=x 3 = 3 или Х=x 4 =4. Эти события образуют полную группу несовместных событий и поэтому сумма вероятностей равна р 1 + р 2 + р 3 + р 4 = 1.
2) Графический способ. Мы имеем функцию р = р (xi) которую можно изобразить графически.
Из таблицы и графика хорошо видно, что значения дискретной случайной величины 1, 2, 3, 4 появляются в эксперименте с одной и той же вероятностью равной 1/4.
3) Функцию можно задать и аналитически с помощью формулы.
Область определения функции есть множество X ={ 1, 2, 3, 4 }, а областью значений P = 1/4, сама функция задается простой формулой
P (x i) = 1/4, i =1, 4.
В этой функции аргументом является переменная дискретная величина Х. Функцией является величина вероятности появления того или иного значения x i .
Рассмотренные два примера дают представление о простейшем равномерном законе распределения.
Функцию распределения легко построить. Она будет кусочно- постоянной, с тремя точками разрыва. Область определения и область значений не отличаются от предыдущего примера с одной монетой.
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 262 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
