Подпространство, порожденное линейной комбинацией векторов

Определение. Пусть дана произвольная система m векторов , принадлежащих векторному пространству K над полем Р. Умножим каждый вектор на число , i = 1,2,..., m и результаты сложим. Полученное выражение

называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами l ₁, l ₂,..., l_m.

Так как коэффициенты l ₁, l ₂,..., l_m есть числа из поля Р, которые выбираются произвольным образом (среди l могут быть и нули), то линейных комбинаций, образованных системой векторов будет бесчисленное множество. Каждая линейная комбинация векторов определяет некий вектор

(4.6)

принадлежащий тому же векторному пространству К. Такой вектор называется линейной комбинацией данных векторов или говорят также, что вектор разложен по векторам , а то бесчисленное множество G, которое образуют эти вектора, будет векторным подпространством пространства К. Называется это подпространство линейной оболочкой системы векторов , либо подпространством, порожденным линейной комбинацией векторов из К.

Действительно, пусть

и два произвольных вектора из G. Имеем,

,

нейтральный элемент ,

симметричный элемент .

С другой стороны для любого b Î R имеем,

,

следовательно, G Ì К наделено свойствами векторного пространства и поэтому является векторным подпространством пространства К.

Рассмотрим теперь основные свойства системы векторов и подпространства порожденного ими.