Основные виды тренда и трендовых моделей

Равномерное развитие имеет ряд динамики со стабильными абсолютными приростами. Его трендовой моделью является линейная модель

. (1.12.18)

Полагая в формулах (1.11.8) и , получим формулы для вычисления МНК-оценок параметров:

, (1.12.19)

модели (1.12.18).

Равноускоренное или равнозамедленное развитие имеет ряд динамики со стабильными цепными темпами прироста. Его трендовой моделью является параболическая модель

, (1.12.20)

где в случае равноускоренного и в случае равнозамедленного развития.

Полагая в системе уравнений (1.11.14) , и решая ее, получим формулы для вычисления МНК-оценок параметров:

, ,

(1.12.21)

модели (1.12.20).

Развитие с переменным ускорением или замедлением описывается кубической трендовой моделью

, (1.12.22)

где в случае переменного ускорения и в случае переменного замедления.

Нетрудно вывести следующие формулы для вычисления МНК-оценок параметров:

, , (1.12.23)

, (1.12.24)

модели (1.12.22).

Развитие по экспоненте имеет ряд динамики со стабильными цепными темпами роста. Его трендовой моделью является экспоненциальная (показательная) модель

. (1.12.25)

Параметр модели (1.12.25) характеризует интенсивность развития.

Логарифмируя обе части уравнения (1.12.25), получим линейное уравнение: . Поэтому МНК-оценки параметров модели (1.12.25) вычисляются по формулам

, . (1.12.26)

Наряду с рассмотренными трендовыми моделями применяются другие трендовые модели, из которых укажем полулогарифмическую модель

, (1.12.27)

и гиперболическую модель

. (1.12.28)

В качестве условных моментов времени в моделях (1.12.27) и (1.12.29) надо брать любые числа , удовлетворяющие соответственно условиям и . Так как модели (1.12.28) и (1.12.29) являются линейными относительно и , то МНК-оценки параметров этих моделей вычисляются соответственно по формулам

, (1.12.29)

и

, . (1.12.30)

Адекватность трендовой модели оценивается с помощью средней ошибки аппроксимации (1.11.19).

Пример 1.12.8. Составим рассмотренные трендовые модели ряда динамики (табл. 1.12.14) и по наилучшей модели выявим тренд розничного товарооборота фирмы.

Таблица 1.12.14