Проверка формулы полного математического ожидания

Московский авиационный институт

(Национальный исследовательский университет)

Курсовая работа по теории вероятностей и математической статистике

Часть

Вариант №10

Курсовую работу выполнила

Студент группы: 7О-208С

Озерова А.С.

Под руководством

Наумова А.В.

Содержание:

1. Теория

2. Задание

3. Практическая часть

4. Вывод

Теория:

Задание двумерной случайной величины (X,Y):

С помощью таблицы для ДСВ

Xi / Yj	y1	…	…	ym
x1	P11	…	…	P1m
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
xn	Pn1	…	…	Pnm

Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) считается заданной, если известен ее закон распределения:

P(X=xi, Y=yj) = pij, i=1,2...,n, j=1,2..,m

M[x]= ΣΣxi*Pij – математическое ожидание Х

M[y]= ΣΣyj*Pij – математическое ожидание Y

D[x]= Σ(xi-Mx)^2*pi – дисперсия Х

D[x]= Σ(yi-My)^2*pj – дисперсия Y

Условное распределение

P(X|Y)=Pi/ΣPij

Условное математическое ожидание:

M[X|Y=y]= Σxi*Pij / Σ Pij;

M[X|Y] = M[x];

Ковариация

Cov(X,Y)=M[X,Y]-Mx*My;

Cov(X,X)= D[X];

Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

Матрица

D[X] Cov(X,Y)

Cov(Y,X) D[Y]

Корреляция

Kxy=ΣΣ(xi-Mx)*(yj-My)*pij

Rxy=cov(X,Y)/V(x)V(y)

Матрица

1 rxy

Rxy 1

Задание:

1. Найти ряды распределения случайных величин X и Y.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне-квадратическое отклонение случайных величин X и Y.

3. Найти условное распределение каждой из случайных величин X и Y при условии, что другая случайная величина принимает одно из своих возможных значений.

4. Записать ряды распределений для условных математических ожиданий X при условии Y и Y при условии X. Проверить формулу полного математического ожидания.

5. Составить ковариационную и корреляционную матрицы случайных величин X и Y, и исследовать их на независимость и некоррелированность.

Дана таблица распределения двумерной случайно величины (X, Y).

X / Y
	0.1	0.15	0.05	0.1
	0.05	0.06	0.1	0.04
	0.1	0.02	0.03	0.05
	0.02	0.03	0.08	0.02

X / Y
	0.1	0.15	0.05	0.1
	0.05	0.06	0.1	0.04
	0.1	0.02	0.03	0.05
	0.02	0.03	0.08	0.02

1. Зависимость случайных величин X и Y.

Находим ряды распределения X и Y.

Пользуясь формулой ∑P(x i,y j) = p i (j=1..n), находим ряд распределения X.

X
P	0.4	0.25	0.2	0.15	∑Pi = 1

Математическое ожидание M[X].

M[x] = 2*0.4 + 3*0.25 + 4*0.2 + 7*0.15 = 3.4

Дисперсия D[X].

D[X] = 2²*0.4 + 3²*0.25 + 4²*0.2 + 7²*0.15 - 3.4² = 2.84

Среднее квадратическое отклонение σ(x).

Пользуясь формулой ∑P(x i,y j) = q j (i=1..m), находим ряд распределения Y.

Y
P	0.27	0.26	0.26	0.21	∑Pi = 1

Математическое ожидание M[Y].

M[y] = 4*0.27 + 6*0.26 + 8*0.26 + 10*0.21 = 6.82

Дисперсия D[Y].

D[Y] = 4²*0.27 + 6²*0.26 + 8²*0.26 + 10²*0.21 - 6.82² = 4.81

Среднее квадратическое отклонение σ(y).

Поскольку, P(X=2,Y=4) = 0.1≠0.4•0.27, то случайные величины X и Y зависимы.

2. Условный закон распределения X.

Условный закон распределения X(Y=4).

P(X=2/Y=4) = 0.1/0.27 = 0.37

P(X=3/Y=4) = 0.05/0.27 = 0.19

P(X=4/Y=4) = 0.1/0.27 = 0.37

P(X=7/Y=4) = 0.02/0.27 = 0.0741

Условное математическое ожидание M[X/Y=4).

M[X/Y=y] = 2*0.37 + 3*0.19 + 4*0.37 + 7*0.0741 = 3.3

Условная дисперсия D[X/Y=4).

D[X/Y=y] = 2²*0.37 + 3²*0.19 + 4²*0.37 + 7²*0.0741 - 3.3² = 1.838

Условный закон распределения X(Y=6).

P(X=2/Y=6) = 0.15/0.26 = 0.58

P(X=3/Y=6) = 0.06/0.26 = 0.23

P(X=4/Y=6) = 0.02/0.26 = 0.0769

P(X=7/Y=6) = 0.03/0.26 = 0.12

Условное математическое ожидание M[X/Y=6).

M[X/Y=y] = 2*0.58 + 3*0.23 + 4*0.0769 + 7*0.12 = 2.96

Условная дисперсия D[X/Y=6).

D[X/Y=y] = 2²*0.58 + 3²*0.23 + 4²*0.0769 + 7²*0.12 - 2.96² = 2.499

Условный закон распределения X(Y=8).

P(X=2/Y=8) = 0.05/0.26 = 0.19

P(X=3/Y=8) = 0.1/0.26 = 0.38

P(X=4/Y=8) = 0.03/0.26 = 0.12

P(X=7/Y=8) = 0.08/0.26 = 0.31

Условное математическое ожидание M[X/Y=8).

M[X/Y=y] = 2*0.19 + 3*0.38 + 4*0.12 + 7*0.31 = 4.15

Условная дисперсия D[X/Y=8).

D[X/Y=y] = 2²*0.19 + 3²*0.38 + 4²*0.12 + 7²*0.31 - 4.15² = 3.899

Условный закон распределения X(Y=10).

P(X=2/Y=10) = 0.1/0.21 = 0.48

P(X=3/Y=10) = 0.04/0.21 = 0.19

P(X=4/Y=10) = 0.05/0.21 = 0.24

P(X=7/Y=10) = 0.02/0.21 = 0.0952

Условное математическое ожидание M[X/Y=10).

M[X/Y=y] = 2*0.48 + 3*0.19 + 4*0.24 + 7*0.0952 = 3.14

Условная дисперсия D[X/Y=10).

D[X/Y=y] = 2²*0.48 + 3²*0.19 + 4²*0.24 + 7²*0.0952 - 3.14² = 2.218

3. Условный закон распределения Y.

Условный закон распределения Y(X=2).

P(Y=4/X=2) = 0.1/0.4 = 0.25

P(Y=6/X=2) = 0.15/0.4 = 0.38

P(Y=8/X=2) = 0.05/0.4 = 0.13

P(Y=10/X=2) = 0.1/0.4 = 0.25

Условное математическое ожидание M[Y/X=2).

M[Y/X=x] = 4*0.25 + 6*0.38 + 8*0.13 + 10*0.25 = 6.75

Условная дисперсия D[Y/X=2).

D[Y/X=x] = 4²*0.25 + 6²*0.38 + 8²*0.13 + 10²*0.25 - 6.75² = 4.94

Условный закон распределения Y(X=3).

P(Y=4/X=3) = 0.05/0.25 = 0.2

P(Y=6/X=3) = 0.06/0.25 = 0.24

P(Y=8/X=3) = 0.1/0.25 = 0.4

P(Y=10/X=3) = 0.04/0.25 = 0.16

Условное математическое ожидание M[Y/X=3).

M[Y/X=x] = 4*0.2 + 6*0.24 + 8*0.4 + 10*0.16 = 7.04

Условная дисперсия D[Y/X=3).

D[Y/X=x] = 4²*0.2 + 6²*0.24 + 8²*0.4 + 10²*0.16 - 7.04² = 3.88

Условный закон распределения Y(X=4).

P(Y=4/X=4) = 0.1/0.2 = 0.5

P(Y=6/X=4) = 0.02/0.2 = 0.1

P(Y=8/X=4) = 0.03/0.2 = 0.15

P(Y=10/X=4) = 0.05/0.2 = 0.25

Условное математическое ожидание M[Y/X=4).

M[Y/X=x] = 4*0.5 + 6*0.1 + 8*0.15 + 10*0.25 = 6.3

Условная дисперсия D[Y/X=4).

D[Y/X=x] = 4²*0.5 + 6²*0.1 + 8²*0.15 + 10²*0.25 - 6.3² = 6.51

Условный закон распределения Y(X=7).

P(Y=4/X=7) = 0.02/0.15 = 0.13

P(Y=6/X=7) = 0.03/0.15 = 0.2

P(Y=8/X=7) = 0.08/0.15 = 0.53

P(Y=10/X=7) = 0.02/0.15 = 0.13

Условное математическое ожидание M[Y/X=7).

M[Y/X=x] = 4*0.13 + 6*0.2 + 8*0.53 + 10*0.13 = 7.33

Условная дисперсия D[Y/X=7).

D[Y/X=x] = 4²*0.13 + 6²*0.2 + 8²*0.53 + 10²*0.13 - 7.33² = 3.02

Проверка формулы полного математического ожидания.

M[x]=M[x|y]:

M[x|y]= (3.3+2.96+4.15+3.14)/4=3.39;

M[x]= 3.4

M[y]=M[y|x];

M[y|x]= (3.5+3.86+3.86+3)/2=6.86;

M[y]= 6.82