Приступим к построению этого показателя. Пусть аргумент функции получил приращение . Тогда значение функции изменится на величину

Лекция 4. Эластичность и ее свойства.

Эластичности элементарных функций

Изучение различных экономических вопросов, таких, как определение динамики спроса населения на данный товар при изменении его цены или при изменении доходов населения, исследование диапазона взаимозаменяемости ресурсов производства, определение эффективности тех или иных затрат, прогнозирование изменения прибыли предприятия или фирмы под воздействием различных факторов и решение многих других проблем, приводит к необходимости выяснения на сколько процентов изменится одна величина, если другая увеличилась на 1%.

Характеристика, дающая ответ на поставленный вопрос, называется эластичностью соответствующей функции.

Приступим к построению этого показателя. Пусть аргумент функции получил приращение. Тогда значение функции изменится на величину

.

Приращения называют абсолютными приращениями аргумента и функции соответственно. Составим относительные приращения переменных и выразим их в процентах.

Величина указывает, на сколько процентов изменилось значение аргумента, а дает соответствующее изменение значения функции.

Отношение показывает, на сколько процентов в среднем меняется (увеличивается или уменьшается) значение функции, когда значение аргумента возрастает на 1% (увеличивается от до ).

Это отношение будет характеризовать поведение функции в данной точке тем точнее, чем меньше . Пусть неограниченно убывает. Вычислим предел указанного отношения при условии .

(3)

Отношение не зависит от изменения . Оно играет роль постоянной и может быть вынесено за знак предела.

Определение. Предел отношения относительного приращения функции к соответствующему относительному приращению аргумента при условии, что абсолютное приращение аргумента стремится к нулю, называется эластичностью функции по переменной и обозначается символом

(4)

Если функция дифференцируема в точке , то

и формула (4) принимает вид

или

(5)

Из (3) следует, что эластичность показывает, на сколько процентов изменится значение функции при увеличении независимой переменной на 1% (с до ).

Формулу (5) можно переписать в виде

Это означает, что для функции выпуска эластичность равна отношению предельной производительности ресурса к его средней производительности.

Пример 17.

Эластичность данной функции вычисляется по формуле

При показатель эластичности равен 0.6. Это означает, что при увеличении с 2 до 2.02 значение функции возрастает примерно на 0.6%. Если , то . Следовательно, увеличение с 0 до 0.01 практически не меняет значения функции.

Пример 18. .

Здесь

При показатель эластичности равен нулю. При увеличении с 1 до 1.01 значении функции практически не меняется. Если , то . Увеличение значения с 2 до 2.02 приводит к уменьшению значения функции на 4 %.

Свойства эластичности

1. Эластичность – безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены величины у и х. .

.

2. Эластичности взаимно обратных функций – взаимно обратные величины:

.

Например, эластичность величины спроса по цене обратна эластичности цены по величине спроса

3. Эластичность произведения двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна сумме эластичностей:

4. Эластичность частного двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна разности эластичностей

5. Эластичность суммы двух функций u(x) и v(x) может быть найдена по формуле:

Например, эластичность величины спроса по цене обратна эластичности цены по величине спроса

3. Эластичность произведения двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна сумме эластичностей:

4. Эластичность частного двух функций u(x) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна разности эластичностей

5. Эластичность суммы двух функций u(x) и v(x) может быть найдена по формуле: