Преобразование трехмерных координат

Большинство геометрических преобразований, с которыми сталкивается инженер в практической деятельности, реализуется в трехмерном пространстве (движение робота с захватом объекта, изображение объемной детали и т.д.). Существует ряд нелинейных трехмерных систем отсчета: цилиндрические, сферические и др., но наиболее часто используются аффинные преобразования, так как они не меняют форму тел. Общая структура уравнений, используемых в процессе таких преобразований, та же, что и при двух координатах, но теперь уравнений три

x₂ = a_xxx₁ + a_xyy₁ + a_xzz₁ + a_x,

y₂ = a_yxx₁ + a_yyy₁ + a_yzz₁ + a_y,

z₂ = a_zxx₁ + a_zyy₁ + a_zzz₁ + a_z,

При этом 9-членная квадратная матрица используется для реализации поворота точки вокруг осей, а 3-членный вектор осуществляет ее перенос в трехмерном пространстве. В отличие от поворота на плоскости в пространстве поворот задается последовательным вращением вокруг трех координатных осей. При этом для каждой оси существует своя матрица поворота. Поворот на угол Θ относительно оси z осуществляется матрицей

	cosΘ	-sinΘ
Rz =	sinΘ	cosΘ

Аналогично выполняется поворот на угол Θ относительно оси y

	cosΘ		sinΘ
Ry =
	-sinΘ		cosΘ

Поворот на угол Θ относительно оси x производится с помощью аналогичной мат-рицы преобразования

			sinΘ
Rx =		cosΘ	-sinΘ
		sinΘ	cosΘ

Масштабирование имеет также свою матрицу, но в данной работе ограничимся только двумя рассмотренными выше видами преобразования как наиболее важными.

Отдельной и важной проблемой, возникающей при выполнении данной лабораторной работы, является отображение трехмерного пространства на плоскость. Как известно из курса инженерной графики наиболее широко распространены аксонометрические проекции, которые, в свою очередь, делятся /3/ на триметрию (все показатели искажения по осям различны), диметрию (два показателя искажения равны, третий отличен от них) и изометрию (все три показателя искажения равны). Конкретные виды аксонометрических проекций приведены на рис. 7.1. Для примера рассмотрим отображение прямоугольной изометрической проекции на двумерную систему координат, соответствующую экрану дисплея (рис. 7.2). Центры систем отсчета совмещены. Ось Y двумерной системы совпадает с осью Z трехмерного пространства. Из рисунка 7.2 видно, что

Mx₂= My₃* cos30^o - Mx₃* cos30^o = cos30^o * (My₃- Mx₃) = 0.87 * (My₃- Mx₃),

My₂= Mz₃- (My₃* sin30^o + Mx₃* sin30^o) = Mz₃- 0.5 * (My₃+ Mx₃).

В соответствии с требованиями изометрической проекции все трехмерные координаты должны домножаться на коэффициент 0.82. Посему окончательные выражения для двумерных координат имеют вид

Mx₂= 0.82 * 0.87 * (My₃- Mx₃) = 0.71 * (My₃- Mx₃),

My₂= 0.82 * (Mz₃- 0.5 * (My₃- Mx₃)).