С помощью теоремы о производной обратной функции найти производные функций arcsinx , arccosx , arctgx , arcctgx

Пусть у=arcsinx. Обратная ей функция имеет вид x=sin(y), ує[-π/2; π/2]. На интервале

(-π/2; π/2) верно равенство x'=cosy≠0.

По правилу дифференцирования обратных функций:

’= = = = ,

где перед корнем взят знак плюс, так как cos(y)>0 при ує(-π/2; π/2).

Аналогично получаем, что

’= = = =

Найдем производную функции у=arctgx.

Она является обратной к функции х=tgy, где ує(-π/2; π/2).

Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, получаем, что

’= = = = = ,

Аналогично получаем, что

’= = = = =

7.) доказать производные зная, производные синуса косинуса и e^x

8. Используя дифференциал, доказать, что если – мало, то

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

т.к , где