Температурное поле горных пород

Температура массива горных пород определяется главным образом температурой поверхности; с глубиной возрастает роль потока тепла из недр Земли. Процесс теплопередачи в горных породах может осуществляться с помощью излучения, конвекции и кондукции.

Тепловое излучение, как уже отмечалось выше, находится в степенной зависимости от температуры нагретого тела. В горных породах доля тепла, передаваемого излучением, обычно не превышает нескольких процентов от величины теплового потока.

Конвективный теплоперенос осуществляется подвижным теплоносителем, перемещающимся в горных породах (жидкость, водяной пар, газ). В общем случае доля тепла, переносимого за счет конвекции, невелика, но иногда, например, при интенсивной фильтрации воды в сильно трещиноватых или закарстованных породах, она может играть определяющую роль в формировании температурного поля массива. Перенос тепла за счет конвекции определяется плотностью (интенсивностью) потока и его температурой.

Кондуктивный теплоперенос – основной и наиболее существенный механизм переноса тепла в горной породе. При кондукции тепло распространяется в среде вследствие колебания атомов и молекул кристаллической решетки, интенсивность которых растет с повышением температуры. Основным параметром, характеризующим тепловое состояние пород, является температура. Распределение ее в горных породах называется температурным полем. Температура изменяется во времени и пространстве и описывается трехмерной нестационарной функцией t(x,y,z,t). Нередки случаи, когда температурное поле изменяется только в направлении одной или двух координат, тогда используют понятия одномерного или двухмерного температурного поля.

Одномерное температурное поле формируется в слоях горных пород под плоской поверхностью, когда температура на всей площади поверхности одинакова и теплофизические характеристики пород в плане не меняются. В этом случае изотермы (линии одинаковых температур в разрезе) параллельны поверхности, а теплопотоки осуществляются по нормали к ней. Одномерными являются также поля с осевой или сферической симметрией (вокруг заглубленных трубопроводов, точечных источников тепла и т.д.).

Двухмерное температурное поле наблюдается тогда, когда изменение температуры по одной из пространственных координат пренебрежительно мало. Например, в долине реки, русло которой и берега, сложены однотипными породами, а рельеф слабо меняют свой облик на каком-либо отдельном участке. В этом случае поперечные температурные профиля, построенные через долину реки в различных местах, будут однотипными.

Трехмерное температурное поле формируется в случаях неоднородных по площади температурных условий на поверхности и (или) теплофизических свойств горных пород, например в условия резко расчлененного складчатого рельефа.

Если температурное поле в каждой точке массива со временем не меняется, то оно называется стационарным. При стационарном поле теплопотоки имеют постоянную величину. Математически процесс стационарной кондуктивной теплопередачи описывается законом Фурье:

q = -l × qrad t,

где q – плотность кондуктивной составляющей теплопотока; l − коэффициент теплопроводности среды, численно равный количеству тепловой энергии, проходящей за единицу времени через единицу площади при единичном градиенте температуры qrad t. При несоблюдении этих условий, температурное поле будет нестационарным. Такие поля характерны для приповерхностных слоев горных пород.

Решение стационарной задачи теплопроводности не вызывает особых трудностей. Оно широко применяется для получения приближенных характеристик процессов промерзания – протаивания. Наиболее простое решение получается в случае одномерного поля, когда температура меняется только по глубине. При этом в зависимости от значений теплопроводности отдельного слоя горных пород, вид температурной кривой будет различным, хотя величина потока в вертикальном направлении не меняется (рис. 3.1).

Отклонение от линейного закона распределения температур в однородном в теплофизическом отношении слое свидетельствует о нестационарном температурном поле. Нелинейность распределения температур может быть обусловлена конвективными потоками тепла, переносимого флюидами, или наличием внутреннего источника тепла.

Рис. 3.1. Характер температурной кривой

в стационарном температурном

поле в слоистой геологической

среде:

1 – l₁<l₂<l₃;

2 – l₂<l₁<l₃;

3 – l₁>l₂>l₃;

4 – l₁=l₂=l₃.

Для математического описания процесса нестационарной кондуктивной теплопередачи и нахождения температуры во времени и пространстве используют уравнение теплопроводности Фурье, дополненное соответствующими краевыми (начальными, граничными) условиями. При одномерном температурном поле оно имеет вид

Соб (z) , (3.4)

где f (z) – плотность распределения источников тепла; Соб(z) – объемная теплоемкость среды, численно равная количеству тепловой энергии, необходимой на нагревание на 1⁰С единицы объема вещества; z – глубина, - время; t – температура; - теплопроводность среды.

При условии постоянства теплофизических характеристик и при отсутствии источников тепла ( = const; Соб = const, f(z) = 0) уравнение имеет вид:

, (3.5)

где = l / Соб – коэффициент температуропроводности.

В настоящее время уравнение теплопроводности достаточно успешно решается численными методами с помощью современных ЭВМ как для одномерного, так и двухмерного температурных полей.

В природных условиях температурное поле верхних слоев земной коры всегда в той или иной степени является нестационарным. Если тепловой поток из недр Земли изменяется лишь в течение длительного геологического времени, то температура на поверхности меняется в суточном, годовом и многолетнем цикле. Эти изменения имеют ярко выраженную периодичность. Несмотря на то, что в массиве пород формируется нестационарное температурное поле, оно, тем не менее, через определенные интервалы времени, равные периоду колебаний, повторяется.

Определение периодически установившегося температурного режима является задачей без начальных условий. Напомним, что начальные условия – это распределение температуры в начальный момент при t = 0. Граничными условиями могут служить температура поверхности почвы (z=0) и тепловой поток на какой-то большой ограниченной (z=Н) или неограниченной (z=¥) глубине.

Температура поверхности почвы периодически меняется по синусоидальному закону:

t (0,t) = t_cр + А₀sin , (3.6)

где t_ср – средняя температура поверхности пород, около которой совершаются колебания с периодом Т; А₀ – физическая (равная половине метеорологической) амплитуда колебаний этой температуры за рассматриваемый период (сутки, год и т.д.).

Реальный ход температуры поверхности отличается от правильной синусоиды, особенно для коротких периодов, но если, например, рассматривать годовой цикл и использовать данные среднемесячных (не суточных) температур, то их колебания можно привести почти к правильной синусоиде (рис. 3.2а).

Основными параметрами этой синусоиды будут являться три величины:

t_ср, А₀, Т: t_ср = , A₀= .

Температурные колебания на поверхности вызывают колебания температуры в подстилающих породах (рис.3.2б). Максимальная глубина проникновения в толщу пород температурной волны (многолетней, годовой или суточной) называется глубиной нулевых амплитуд температуры (многолетних, годовых или суточных). Слой горных пород, лежащий между дневной поверхностью и указанной глубиной, является слоем многолетних, годовых или суточных колебаний температуры.

Рис.3.2. Гармонические температурные колебания на поверхности и в подстилающих породах:

а) приведенные к «идеальной» синусоиде годовые колебания температуры, наблюдаемые на поверхности;

б) распространение температурных волн в толще горных пород; А₀ – амплитуда колебаний; d – сдвиг колебаний во времени; S₁ и S₂ - площади температуроградусосуток соответственно в теплый и холодный периоды.

Распространение температурной волны в средах без фазовых переходов описывается законами Фурье, которые являются следствием решения так называемой задачи Фурье. Математическая формулировка задачи выглядит следующим образом:

t (0,t) = t⁰ _ср + А₀sin ,

где a − коэффициент температуропроводности, равный отношению коэффициента теплопроводности пород l к их объемной теплоемкости С_об.

Решением этой задачи является функция

t(z,t) = t⁰ ср + А₀е^-z∙ ∙ sin (), (3.7)

которая определяет значение температуры пород на любой глубине z в любой момент времени t.

Из анализа решений можно сделать следующие выводы:

При периодических колебаниях температуры поверхности в горных породах происходят колебания около той же средней температуры с тем же периодом, что и на поверхности.

Амплитуда колебаний тем экспоненциально убывает с глубиной:

А(z) = А₀е^-z∙ =А₀е^-z∙ = A₀е^-zk, (Первый закон Фурье) (3.8)

где k = − коэффициент затухания. Из этой зависимости следует, что чем выше теплопроводность пород и меньше их теплоемкость, тем на большую глубину проникают температурные колебания. Если мы построим график изменение температуры по глубине на различные моменты времени, то кривые, ограничивающие максимальные и минимальные значения синусоидальных колебаний температуры, будут являться экспоненциальными кривыми, определяющими характер затухания амплитуды температур с глубиной. Эти кривые называются огибающими температурными кривыми (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Температурные кривые

за год и их огибающие.

1-4 – распределение температур на момент времени t соответственно 1/8, 1/4, 3/8 и 1/2 Т;

5 – огибающие температурных колебаний; А₀, А(z) – амплитуды колебаний температур на поверхности и на глубине Z.

С глубиной происходит запаздывание экстремальных температур во времени; температурные колебания в породах происходят со сдвигом фаз пропорциональным глубине. Время запаздывания определяется по следующей формуле:

t(z) = z , (Второй закон Фурье). (3.9)

Из приведенного выражения следует, что в однородной среде скорость распространения температурной волны постоянна во времени (v = = const).

Глубина проникновения температурных колебаний возрастает с увеличением их периода и амплитуды:

h = , (Третий закон Фурье). (3.10)

В практике за максимальную глубину проникновения температурных колебаний принимается такая глубина, на которой амплитуда колебаний А _h становиться меньше 0,1°С (точность измерения температуры).

Из выражения (3.10) следует: при равных амплитудах и разных периодах колебаний температуры отношение глубин затухания температурной волны относятся между собой как корень квадратный из отношения периодов колебаний:

(3.11)

Например, если суточные колебания температур в однородных породах (без фазовых переходов) затухают на глубине 1 м, то годовые колебания с той же амплитудой достигнут глубины 19 м (h_z = 1 @ 19), а вековые в десять раз глубже.

В реальной природной обстановке годовые колебания температуры отмечаются в слое пород мощностью 10-15 м, а вековые – менее 100 м.

Уравнение Фурье (3.7) позволяет анализировать динамику теплопотоков в исследуемой области. При этом важное значение имеет структура теплопотока через поверхность, отражающая уровень теплообмена пород с внешней средой. В теплый период года (t > t _ср) происходит нагревание пород и теплопотоки имеют положительный знак, а в холодный (t < t _ср) – охлаждение, теплопотоки меняют свой знак. Количество тепла, приходящее в породу за полупериод нагревания и уходящие из нее за полупериод охлаждения, называется теплооборотами в породах. В случае, когда потоки разновелики, происходит изменение среднегодовой температуры пород во времени до тех пор, пока равновесие не установится.

Установившаяся в результате разнопериодных колебаний в горных породах температура дополнительно повышается по глубине слоя в соответствии с геотермическим градиентом g, т.е.

t_ср (z) = t⁰_ср + (q/l)z.

Геотермический градиент (q/l) при этом показывает: насколько градусов изменяется температура пород с глубиной на единицу длины за счет потока тепла, идущего из недр Земли. Величина обратная геотермическому градиенту называется геотермической ступенью. Она показывает, на каком расстоянии по вертикали температура пород изменяется на 1°С. На континентах, в различных регионах значения геотермических градиентов могут отличаться между собой в десять и более раз, что отражает тектоническую активность территории, Для грубо ориентировочных подсчетов иногда пользуются значением 3^о/100 м.

Задача о промерзании и протаивании горных пород

До сих пор рассматривалось температурное поле горных пород без учета затрат тепла на фазовые переходы, т.е. без учета энергоемкого процесса замерзания (таяния) воды (льда). Известно, что на нагревание 1 кг воды на 1^оС требуется 4.2 КДж (1 Ккал) тепла, а на таяние такого же количества льда – в 80 раз больше. Поэтому очевидно, что процесс промерзания влагонасыщенных пород должен происходить медленнее, чем сухих. Обратная картина наблюдается при протаивании: сильно льдистые отложения протаивают и нагреваются медленнее слабольдистых. Подвижную границу раздела талых и мерзлых пород называют фронт ом промерзания (протаивания). Воздействие на температурное поле фазовых переходов влаги в слое пород (грунтов), совершающихся при отрицательной близкой к нулю температуре, М.И.Сумгин назвал нулевой завесой.

Количество тепла Q_ф, выделяющегося или поглощаемого при полном промерзании или оттаивании единицы массива горной породы, определяется из выражения:

Q_ф = LW_вg_ск,

где L=335 000 кДж/м³ – объемная теплота фазового перехода воды в лед и наоборот; W_в – весовая влажность (льдистость); g_ск – плотность (объемная масса) скелета.

В 1889 г. австрийский математик Йозеф Стефан получил трасцендентное уравнение для определения движения границы раздела фаз в среде с постоянной начальной температурой и постоянной температурой противоположного знака на поверхности, оно считается классическим решением задачи о промерзании.

На границе раздела талых и мерзлых пород процесс теплообмена подчиняется закону сохранения и превращения энергии. Суть теплообмена можно выразить в следующем виде (условие Стефана):

l_{т -} l_{м =} Q_{ф ,} (3.12)

где l_т и l_м – коэффициенты теплопроводности талых и мерзлых пород; t _т и t_м – температура в талой и мерзлой зонах; Q_ф – затраты тепла на фазовые превращения единицы объема породы; – глубина протаивания или промерзания горных пород.

Левая часть равенства представляет собой разность тепловых потоков, приходящих к фронту промерзания и уходящих от нее. Поглощаемое на границе количество тепла затрачивается на замерзание или оттаивание горных пород, следовательно, вызывает движение границы со скоростью , что выражается правой частью равенства. Выражение (3.12) таким образом можно написать короче:

g_т - g_м = Q_ф ,

где g_т и g_м – потоки тепла на границе раздела фаз в талой и мерзлой зонах; e’ = – скорость продвижения границы. Если потоки равны, что часто имеет место на подошве многолетнемерзлых толщ (ММТ), то граница будет неподвижна.

Промерзание (протаивание) влажного грунта является сложным термодинамическим процессом, протекающим в неоднородных по своим свойствам породах. Задача о протекании этого процесса является одной из наиболее сложных в математической физике. При ее решении необходимо учитывать изменение агрегатного состава и теплофизических характеристик среды при изменяющемся температурном поле, процессы миграции влаги и пр.

В зависимости от физико-механических свойств грунта фазовые переходы могут происходить как при постоянной температуре, так и в спектре температур: грубообломочные грунты в одном случае и тонкодисперсные – в другом. Вследствие этого в процессе промерзания (протаивания) будет происходить изменение теплофизических характеристик грунтов. Миграция влаги к фронту промерзания сопровождается изменением теплоемкости грунтов, повышением затрат на фазовые переходы.

Постановка задач о промерзании (протаивании) пород предусматривает следующие основные варианты:

1) промерзание (протаивание) пород происходит с образованием границы раздела фаз;

2) промерзание (протаивание) пород происходит в некотором интервале температуры с образованием зоны промерзания;

3) промерзание (протаивание) с участием миграции влаги в промерзающую зону.

Наиболее простой является постановка задачи по I варианту, когда на подвижной границе все время сохраняется температура кристаллизации воды (плавление льда), равная 0°С. Талые и мерзлые породы разделяет плоскость. Эта постановка хорошо описывает процессы промерзания в грубообломочных породах.

Рассмотрим случай нестационарного одномерного температурного поля в однородных горных породах, содержащих пресную гравитационную (свободную) воду. Математическая формулировка задачи в этом случае будет включать в себя: два уравнения теплопроводности (для талой и мерзлой зон) и условие Стефана на подвижной границе раздела фаз. В случае промерзания грунтов она записывается следующим образом:

ошибка

ошибка

,

где - положение нижней границы рассматриваемой области; другие обозначения приведены выше по тексту. Последние два уравнения являются условиями сопряжения решений уравнений теплопроводности в мерзлой и талой зонах на подвижной границе раздела фаз.

Для получения однозначного условия в поставленной задаче необходимо задать краевые (начальные и граничные) условия:

начальные условия

граничные условия.

Граничные условия можно задавать по-разному. В приведенном примере заданы граничные условия I рода, т.е. заданы во времени значения изменения температуры на верхней (z=0) и нижней (z= ) границах. Можно на границе задать значение теплового потока или градиента температуры (II рода г.у.) или в виде комбинации значений температуры и градиента температуры, причем по отдельности их значения не известны (III рода г.у.). Часто граничные условия являются смешанными: на верхней границе задаются условия I рода, а на нижней – II рода.

На основе приближенных решений задачи Стефана получены формулы, которые могут быть использованы для определения глубины промерзания (протаивания) в практических расчетах. Для ориентировочных расчетов часто применяется так называемая формула Стефана (впервые выведенная Заальшютцом):

, (3.13)

где - сумма градусочасов.

Формула выведена с большими упрощениями:

а) предполагается постоянство температуры на поверхности пород;

б) все тепло расходуется на фазовые переходы и не идет на нагревание (охлаждение) массива;

в) распространение температур в верхней зоне подчиняется линейному закону;

г) теплопоток снизу отсутствует и пр.

Расчеты по формуле (3.13) можно уточнить, если имеются данные о глубине промерзания (оттаивания) за определенный год на конкретной площадке, оголенной от снежного покрова. Например, в конкретный год известны величины и , тогда .

Достаточно точные результаты определения глубин сезонного промерзания (оттаивания) дают приближенные формулы В.А.Кудрявцева (см. Общее мерзлотоведение…, 1978).

В практике геокриологических исследований решение задачи с образованием границы раздела фаз применимо для крупнодисперсных и песчаных грунтов, содержащих пресные подземные воды. Однако в тонкодисперсных отложениях при нулевых температурах замерзает только небольшая часть свободной воды, а связанная влага замерзает постепенно по мере понижения температуры. Поэтому в таких породах выделяются не две зоны – талая и мерзлая, разделенные между собой четкой границей (плоскостью), а три. Третья, промежуточная зона включает в себя незамерзшую влагу и лед, количество которого увеличивается с понижением температуры. Таким образом, промежуточная зона имеет непостоянные во времени теплофизические свойства.

При промерзании тонкодисперсных пород в естественных условиях нередко наблюдается движение влаги в зону промерзания из нижележащих водоносных отложений. Причем количество миграционной влаги может превышать объем воды, находящейся в породе перед началом промерзания. Миграционная влага не только влияет на величину фазовых переходов и теплофизические свойства грунта, но и увеличивает объем последнего, т.е. верхняя граница отложений не остается неподвижной, а перемещается вверх. Происходит пучение грунта.

Решение задачи на промерзание (протаивание) сопряжено со многими трудностями, которые не позволяют найти однозначного ответа и поэтому варианты решений, предлагаемые различными авторами, имеют существенные недостатки.

Постановка задачи о промерзании – протаивании толщи горных пород подробно рассматривается в работах Э.Д. Ершова (2002) и «Общем мерзлотоведении» под редакцией В.А. Кудрявцева (1978).