нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций

нескольких переменных

6.1. Найти и изобразить области определения следующих функций:

а) u = ;	б) u =1+ ;	в) u =ln(x + y);
г) u = x +arctg y;	д) u = ;	е) u =arcsin(y / x)
ж) u = ;	з) u = ;	и) u =ln(x 2+ y)
к) u =1/(x 2+ y 2);	л) u = ;	м) u =ln(xyz);
н) u = .

6.2. Построить линии уровня функций и выяснить характер изображаемых ими поверхностей:

а) z = x + y;	б) z = x 2+ y 2	в) z = x 2– y 2;	г) z = ;
д)z=(1+ x + y)2;	е) z =1–| x |–| y |;	ж) z= y / x 2;	з) z = y / ;
и) z = .

6.3. Найти поверхности уровня следующих функций:

а) u = x + y + z;

б) u = x 2+ y 2+ z 2;

в) u = x 2+ y 2– z 2.

6.4. Найти пределы:

а) ;	б) ;	в) ;
г) ;	д) .

6.5. Найти точки разрыва функций:

а) z =ln ;

б) z = ;

в) z = ;

г) z =cos .

6.6. Найти частные производные функций:

а) z = x 3+ y 3–3 axy;	б) z =	в) z = y / x;
г) z = ;	д) z = x / ;	е) z =ln ;
ж) z =arctg(y / x);	з) z = xy;	и) z= e sin( y / x );
к) z =arcsin ;	л) z =lnsin ;	м) u =(xy) z;
н) u = zxy.	о)	п)

6.7. Показать, что , если z =(x ²+ xy + y ²).

6.8. Показать, что , если z = xy + xe ^{( y / x )}.

6.9. Показать, что , если u =(x – y)(y – z)(z – x).

6.10. Для функции f (x, y)= x ² y найти полное приращение и полный дифференциал в точке (1;2); сравнить их, если: а) D x =1, D y =2,; б) D x =0,1, D y =0,2.

6.11. Найти полные дифференциалы следующих функций:

а) z = x 3+ y 3–3 xy;	б) z = x 2 y 3;	в) z = ;
г) z =sin2 x +cos2 y;	д) z = yxy;	е) z =ln(x 2+ y 2)
ж) z =arctg +arctg ;	з) z =lntg(y / x);	и) u = xyz;
к) u = ;	л) z = ;	м) u =arctg .

6.12 ычислить приближенно с помощью полного дифференциала подходящей функции:

а) (1,02)3×(0,97)2;	б) ;	в) 1,042,02;
г) ln .

6.13. z = x / y; x = e^t; y =ln t; =?

6.14. u =lnsin ; x =3 t ²; y = ; =?

6.15. u = xyz; x = t ²+1; y =ln t; z =tg t; =?

6.16. u = ; x = R cos t; y = R sin t; z = H; =?

6.17. z =arctg ; y = x ²; =?, =?

6.18. z =arctg ; x = u sin v; y = u cos v; =?, =?

6.19. z = x ²ln y; x = ; y =3 u –2 v; =?, =?

6.20. Показать, что функция z =arctg(x / y), где x = u + v, y = u – v, удовлетворяет соотношению .

6.21. Показать, что функция z = y j(x ²– y ²) удовлетворяет уравнению .

6.22. Показать, что функция u = x^kF , где F дифференциальная функция, удовлетворяет уравнению .

6.23. Найти .

а) x 3 y – y 3 x = a 4;	б) xey + yex – exy =0;	в) sin(xy)– exy – x 2 y =0;
г) xy –ln y = a;	д) yx = xy.

6.24. Найти и .

а) ;	б) x 2–2 y 2+ z 2–4 x +2 z –5=0;	в) z 3+3 xyz = a 3;
г) ez – xyz =0.

6.25. Найти полный дифференциал функции z, определяемой уравнением cos² x +cos² y +cos² z =1.

6.26. z = x^y. Показать, что .

6.27. z =arctg(x / y). Показать, что .

6.28. Найти .

а) z = ;	б) z =ln ;	в) z =arctg ;
г) z =sin2(ax + by);	д) z = ;	е) z = ; ж) z = y ln x .

6.29. =?	6.30. z= ; =?
6.31. z= sin(xy); =?	6.32. u = ; =?

6.33. а)Показать, что функция удовлетворяет уравнению

б) u = e^x (x cos y – y sin y); показать, что .

6.34. u =ln ; показать, что .

6.35. , убедиться, что и что .

6.36. Доказать, что функция удовлетворяет уравнению

6.37. u = ; показать, что .

6.38. u (x, y, z, t)= ; показать, что

.

6.39. Найти дифференциал второго порядка:

а) z=xy ²– x ² y; б) z= ln(x – y); в) z=e^xy; г) u = xyz.

6.40. .

6.41. 3 x ² y ²+2 z ² xy –2 zx ³+4 zy ³– 4=0. Найти d ² z в точке (2;1;2).

6.42. Сделать замену переменных x =1/ t в выражении x ⁴ y ²+2 x ³ y ¢+ y.

6.43. Преобразовать выражение , полагая x=sint.

6.44. Преобразовать к новым независимым переменным u и v урав-нение , если u = x, v = y / x.

6.45. Уравнение Лапласа преобразовать к полярным координатам r и j, полагая x = r cosj, y = r sinj.

6.46. Преобразовать уравнение , приняв за новые независимые переменные u = x + y, v = y / x и за новую функцию w = z / x.

6.47. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения нор-мали к следующим поверхностям в указанных точках:

а) к параболоиду вращения z = x ²+ y ² в точке (1;–2;5);

б) к конусу x ²/16+ y ²/9– z ²/8=0 в точке (4;3;4);

в) к сфере x ²+ y ²+ z ²=2 Rz в точке (R cosa; R sina; R).

6.48. В каких точках эллипсоида нормаль к нему образует равные углы с осями координат?

6.49. К поверхности x ²+2 y ²+3 z ²=21 провести касательные плоскости, параллельные плоскости x +4 y +6 z =0.

6.50. Функцию f (x, y, z) = x ²+ y ²+ z ²+ 2 xy – yz –4 x –3 y – z +4 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1;1).

6.51. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-го порядка включительно функцию f (x, y)= e^x sin y.

6.52. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов 2-го порядка включительно функцию f (x, y)= x^y.

Исследовать на экстремум следующие функции:

6.53. z =(x –1)2+2 y 2.	6.54. z =(x –1)2–2 y 2.
6.55. z = x 2+ xy + y 2–2 x – y.	6.56. z = x 3 y 2(6– x – y); (x >0, y >0).
6.57. z = x 4+ y 4–2 x 2+4 xy –2 y 2.	6.58. z =(x 2+ y 2) .
6.59. u = x 2+ y 2+ z 2– xy + x –2 z.	6.60. u = x + y 2/(4 x)+ z 2/ y +2/ z; (x >0, y >0, z >0).

Определить условные экстремумы функций:

6.61. z = xy при x + y =1.

6.62. z = x +2 y при x ²+ y ²=5.

6.63. z =cos² x +cos² y при y – x =p/4.

6.64. u = x –2 y +2 z при x ²+ y ²+ z ²=9.

6.65. u = xy ² z ³ при x + y + z =12; (x >0, y >0, z >0).

6.66. u = xyz при x + y + z =5, xy + yz + zx =8.

6.67. Определить наибольшее значение функции z =1+ x +2 y в областях: а) x ³0; y ³0; x + y £1; б) x ³0; y £0; x – y £1.

6.68. Определить наибольшие и наименьшие значения функций а) z = x ² y и б) z = x ²– y ² в области x ²+ y ²£1.

6.69. Определите наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями

а) , , ;

б) ;

в) ;

г) .

6.70. Определить наибольшее и наименьшее значения функции z =sin x +sin y +sin(x + y) в области: 0£ x £p/2; 0£ y £p/2.

6.71. Определить наибольшее и наименьшее значения функции z = x ³+ y ³–3 xy в области: 0£ x £2; –1£ y £2.

6.72. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данный объем V, найти тот, полная поверхность которого наименьшая.

6.73. При каких размерах открытая прямоугольная ванна данной вместимости V имеет наименьшую поверхность.

6.74. Из всех треугольников данного периметра 2 p найти тот, который имеет наибольшую площадь.

6.75. Найти прямоугольный параллелепипед с данной площадью поверхности S, имеющий наибольший объем.

6.76. На плоскости XOY найти точку M (x, y), сумма квадратов расстояний которой от трех прямых: x =0, y =0, x – y –1=0 была наименьшей.

Ответы

6.1. а) Единичный круг с центром в начале координат, включая окружность (x ²+ y ²£1); б) биссектриса y = x I и III координатных углов; в) полуплоскость, расположенная над прямой х + у =0 (х + у >0); г) полоса, заключенная между прямыми у =±1, включая эти прямые (–1£ у £1); д) квадрат, образованный отрезками прямых х =±1, у =±1, включая его стороны (–1£ x £1, –1£ y £1); е) часть плоскости, примыкающая к оси OX и заключенная между прямыми y =± x, включая эти прямые и исключая начало координат (– x £ y £ x при x >0, x £ y £– x при x <0); ж) две полуполосы х ³2, –2£ у £2 и х £–2, –2£ у £2; з) полуполосы 2 n p£ х £(2 n +1)p, у ³0 и (2 n +1)p£ х £(2 n +2)p, у £0, где n – целое число; и) часть плоскости, расположенная выше параболы у = – х ² (х ²+ у >0); к) вся плоскость хоу, за исключением начала координат; л) I октант (включая границу); м) I, III, VI и VIII октанты, исключая границу; н) шар радиуса 1 с центром в начале координат, включая его поверхность. 6.2. а) Плоскость; линии уровня – прямые, параллельные прямой х + у =0; б) параболоид вращения; линия уровня – концентрические окружности с центром в начале координат;

в) гиперболический параболоид; линии уровня – равносторонние гиперболы г) конус 2-го порядка; линия уровня – равносторонние гиперболы;

д) параболический цилиндр, образующие которого параллельны прямой х + у +1=0; линии уровня – параллельные прямые; е) боковая поверхность четырехугольной пирамиды; линии уровня – контуры квадратов; ж) линии уровня – параболы у = сх ²; з) линии уровня – параболы у = с ; и) линии уровня – окружности с (х ²+ у ²)=2 х. 6.3. а) Плоскости, параллельные плоскости x + y + z =0; б) концентрические сферы с центром в начале координат; в) при u >0 однополосные гиперболоиды вращения вокруг оси OZ; при u <0 двуполостные гиперболоиды вращения вокруг оси OZ; оба семейства поверхностей разделяет конус x ²+ y ²– z ²=0 (u =0). 6.4. а) 0; б) 2; в) e^k; г) не существует; д) не существует. 6.5. а) О (0;0); б) все точки прямой х = у; в) все точки окружности х ²+ у ²=1; г) все точки координатных осей. 6.6. а) =3(х ²– ay), =3(у ²– ах); б) , ; в) , ; г) , ; д) , ; е) , ; ж) , ; з) = yx^{y –1}, = x^y ln x; и) ; ; к) , ; л) =

, ; м) , , ; н) , , . 6.10. D f = =4D x +D y +2(D x)²+2D x ×D y +(D x)²×D y, df =4 dx + dy; а) D f – df =8; б) D f – df =0,062. 6.11. а) dz =3(x ²– y) dx +3(y ²– x) dy; б) dz =2 xy ³ dx +3 x ² y ² dy; в) dz = × ×(ydx – xdy); г) dz =sin2 xdx –sin2 ydy; д) dz = y ² x^{y –1} dx + x^y (1+ y ln x) dy; e) dz = = ; ж) dz =0; з) dz = (xdy – ydx); и) du = yzdx + zxdy + xydz; к) du = ; л) du = ; м) du = . 6.12. а) 1,00; б) 4,998; в) 1,08; г) 0,005. 6.13. . 6.14. . 6.15. . 6.16. =0. 6.17. ; . 6.18. =0; =1. 6.19. ; . 6.23. а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 6.24. а) , ; б) , ; в) , ; г) , . 6.25. . 6.28. а) ,

, ; б) , , ; в) , , ; г) , , ; д) , , ; е) , , ; ж) , , . 6.29. . 6.30. . 6.31. – x (2sin(xy)+ xy cos(xy)). 6.32. (x ² y ² z ²+3 xyz +1) e^xyz. 6.39. а) –2 ydx ²+4(y – x) dxdy + +2 xdy ²; б) ; в) e^xy ((ydx + xdy)²+2 dxdy); г) 2(zdxdy + ydxdz + xdydz).

6.40. . 6.41. –31,5 dx ²+206 dxdy –

–306 dy ². 6.42. + y. 6.43. + ay. 6.44. =0. 6.45. . 6.46. . 6.47. а) 2 x –4 y – z –5=0, ; б) 3 x +4 y –6 z =0, ; в) x cosa+ y sina– R =0, . 6.48. ; ; . 6.49. x + +4 y +6 z =±21. 6.50. f (x, y, z)=(x –1)²+(y –1)²+(z –1)²+2(x –1)(y –1)–(y –1)(z –1).

6.51. y + xy + . 6.52. 1+(y –1)+(x –1)(y –1). 6.53. z _min=0 при x =1, y =0. 6.54. экстремумов нет. 6.55. z _min= –1 при x =1, y =0. 6.56. z _max=108 при x =3, y =2. 6.57. z_min= –8 при x = , y = = и при x = , y = . 6.58. z _min=0 при x = y =0; нестрогий максимум z =1/ e в точках окружности x ²+ y ²=1. 6.59. u _min= –4/3 при x = –2/3, y = –1/3, z =1. 6.60. u _min=4 при x =1/2, y =1, z =1. 6.61. z _max=1/4 при x = y =1/2. 6.62. z _max=5 при x =1, y =2; z _min= –5 при x = –1, y = –2. 6.63. z_max= при x = + + k p, y= + k p; z_min= при x = , y = + k p. 6.64. u _min= –9 при x = –1, y =2, z = –2; u _max=9 при x =1, y = –2, z =2. 6.65. u_max=2×4²×6³ при x =2, y =4, z =6. 6.66. u _max= в точках ; ; ; u _min=4 в точках (2;2;1); (2;1;2); (1;2;2). 6.67. а) z (0;1)=3; б) z (1;0)=2. 6.68. а) наибольшее значение ; наименьшее значение ; б) наибольшее значение z (±1;0)= =1, наименьшее значение z (0;±1)=–1. 6.69. а) наименьшее значение ; наибольшее значение ; б) наименьшее значение ; наибольшее значение ; в) наименьшее значение ; наибольшее значение ; г) наименьшее значение ; наибольшее значение . 6.70. наибольшее значение z (p/3;p/3)= , наименьшее значение z (0;0)=0. 6.71. наибольшее значение z (2;–1)=13; наименьшее значение z (0;–1)= z (1;1)= –1. 6.72. куб. 6.73. . 6.74. равносторонний треугольник. 6.75. куб. 6.76. .