Способи інтегрування

Перш за все слід зауважити, що не всі інтеграли можуть бути визначені.

Доцільно керуватись таким методичним прийомом, який подається алгоритмом застосування способів розрахунку невизначених інтегралів.

Слід звернути увагу на те, чи не є поданий інтеграл відомим у відповідності з тими, які містяться в табл. 3.

Якщо він відомий, то розв’язання такої задачі пов’язане з використанням відповідної формули з табл. 3.

1. Спосіб зведення виду інтеграла до відомого

В інших випадках потрібно розглянути можливість необхідних перетворень підінтегрального виразу з метою приведення його до однієї із відомих формул, поданих в табл. 3. При цьому користуються такими міркуваннями: результат інтегрування не залежить від вигляду змінної й того, що диференціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал змінної, тобто .

Розглянемо такі задачі.

Задача 5.1. Визначити .

Розв’язання. Маємо

.

Задача 5.2. Визначити .

Розв’язання. Маємо

Задача 5.3. Визначити .

Розв’язання. Маємо

2. Спосіб заміни змінної інтегрування

Заміна змінної інтегрування виконується з метою спрощення підінтегральної функції та зведення інтеграла в цілому до відомого вигляду, тобто до вигляду, відповідного до зазначеного в табл. 3. Слід зауважити, що якщо прийнята заміна змінної інтегрування не привела до спрощення підінтегральної функції, то вона є недоцільною, тобто її не слід проводити.

Зміст цього способу полягає в тому, що для відшукання інтеграла змінну х заміняють новою змінною t, яка пов’язана з х відношенням . Тоді маємо та

.

Після відшукання інтеграла за виразом , де – обернена функція до , переходять до відповіді зі змінною х.

Розглянемо розв’язання таких задач.

Задача 5.4. Визначити .

Розв’язання. Введемо нову змінну , тоді та . Маємо

Задача 5.5. Визначити .

Розв’язання. Введемо нову змінну , тоді . Маємо

Задача 5.6. Визначити .

Розв’язання. Введемо нову змінну , тоді . Маємо

.

Відзначимо, що зазначений вище спосіб зведення вигляду інтеграла до відомого відповідає за змістом заміні змінної інтегрування, але підінтегральні вирази є достатньо прозорими для скорочення всіх необхідних їх перетворень.

3. Спосіб інтегрування за частинами

Спосіб інтегрування за частинами передбачає використання співвідношення вигляду

,

яке випливає з інтегрування диференціала добутку двох функцій, а саме .

Формула інтегрування за частинами дозволяє замість визначення інтеграла розглядати визначення інтеграла . Звичайно це доцільно тоді, коли інтеграл є більш простим, тобто має більш простий вираз підінтегральної функції. Застосування формули інтегрування за частинами пов’язане з необхідністю розбиття підінтегрального виразу на два співмножники таким чином, щоб міг бути визначеним та, як уже відзначалось, щоб був би більш простим по відношенню до . Рекомендується таке прийняття функцій и та .

Якщо підінтегральна функція має вигляд добутку деякої функції на тригонометричну функцію, тобто якщо розглядається

,

то , а .

Якщо підінтегральна функція має вигляд добутку деякої функції на функцію , тобто якщо розглядається

,

то , а .

Якщо підінтегральна функція складається з оберненої тригонометричної функції, тобто якщо розглядається
, то , а .

Якщо підінтегральна функція є добуток будь-якої функції на обернену тригонометричну функцію, тобто якщо розглядається

,

, а .

Розглянемо розв’язання таких задач та запропонуємо таку форму запису.

Задача 5.7. Визначити .

Розв’язання. Маємо

Задача 5.8. Визначити .

Розв’язання. Маємо

Задача 5.9. Визначити .

Розв’язання. Маємо

Задача 5.10. Визначити .

Розв’язання. Маємо

Зазначимо таке зауваження. Якщо при інтегруванні за частинами виявилось, що має більш складну підінтегральну функцію, ніж , то це свідчить про те, що визначення функцій, які відповідають и та , є помилковим.

4. Спосіб перетворення підінтегральної функції на доданки

Виходячи з властивості невизначеного інтеграла щодо того, що , якщо підінтегральна функція може бути подана у вигляді суми доданків, то визначення інтеграла зводиться до визначення інтегралів від кожного доданка, які будуть мати більш прості підінтегральні вирази ніж підінтегральна функція, яка відповідає їх сумі.

Задача 5.11. Визначити

Розв’язання. Маємо

Задача 5.12. Визначити .

Розв’язання. Маємо

Задача 5.13. Визначити .

Розв’язання. Будемо мати

5. Способи інтегрування тригонометричних функцій

Розглядаються інтеграли, які мають такі подання.

Вид І. .

Вид ІІ.

Вид ІІІ. .

Вид IV. .

Спосіб визначення інтегралів вигляду І пов’язаний з парним чи непарним числом n. Якщо n є парним, то перетворення за співвідношеннями

дозволяє понизити степінь підінтегральної функції, що і приводить до бажаного його перетворення.

Задача 5.14. Визначити .

Розв’язання. Маємо

Якщо n є непарним, то перетворення інтегралів вигляду І пов’язане з поданнями ; та в подальшому – із застосуванням заміни змінної інтегрування .

Задача 5.15. Визначити .

Розв’язання. Маємо

Задача 5.16. Визначити .

Розв’язання. Маємо

.

Спосіб визначення інтегралів вигляду ІІ пов’язаний з перетвореннями підінтегральної функції в залежності від того, чи є m та n парними, чи непарними. Якщо m та n є парними, то перетворення спрямовані на пониження степенів, що досягається застосуванням вищезазначених співвідношень. Якщо m та n є непарними, то перетворення пов’язані з поданнями та з введенням заміни .

Задача 5.17. Визначити .

Розв’язання. Маємо

.

Задача 5.18. Визначити .

Розв’язання. Маємо

.

Спосіб визначення інтегралів вигляду ІІІ пов’язаний з тим, що до розгляду водиться нова змінна: або відповідно при розгляді інтегралів або .

Задача 5.19. Визначити .

Розв’язання. Маємо

.

Зауваження. При розв’язанні задачі 5.19 після заміни змінної отримуємо інтеграл , підінтегральною функцією якого є неправильний дріб. Подальше перетворення підінтегральної функції пов’язане з виділенням цілої частини дробу, що і подано при розв’язанні задачі 5.19 як ділення багаточлена на багаточлен.

Спосіб визначення інтегралів виду IV пов’язаний з перетворенням підінтегральної функції при використанні таких тригонометричних співвідношень:

.

Задача 5.20. Визначити .

Розв’язання. Маємо

.

6. Спосіб інтегрування функцій, які містять квадратний тричлен

Розглядаються інтеграли вигляду

.

Спосіб інтегрування зазначених інтегралів полягає в тому, що спочатку для квадратних тричленів виділяють повний квадрат, виходячи з того, що

, де ,

а в подальшому інтеграли перетворюються та зводяться до вигляду, зазначеного в табл. 3.

Задача 5.21. Визначити .

Розв’язання. Маємо

.

Задача 5.22. Визначити .

Розв’язання. Маємо

.

7. Спосіб інтегрування раціональних функцій

Якщо підінтегральна функція є цілою раціональною чи вона подана у вигляді відношення (дробу) двох раціональних функцій , то інтеграли вигляду , завжди можуть бути визначені. Ціла раціональна функція інтегрується у відповідності до виразу

.

При розгляді дробово-раціональної функції звертається увага на те, чи є цей дріб правильним чи неправильним. У разі, коли є дробом неправильним, то виділяється ціла частина. Визначення інтегралів з доданків, які складають зміст цілої частини дробу, не викликає труднощів і розглянуто вище. Якщо є остачею від ділення та , то дріб є правильним.

Правильний раціональний дріб завжди можна розкласти на елементарні дроби, які мають вигляд та , де m та n – цілі числа, що завжди інтегруються.

У загальному випадку маємо

,

де є сталі; для всякого множника в розкладі записується така кількість елементарних дробів, яка відповідає його кратності.

Процедура визначення сталих у розкладі полягає в такому. Після підведення до спільного знаменника, що відповідає дії множення лівої та правої частини виразу на , з метою визначення сталих складається система звичайних рівнянь шляхом порівняння коефіцієнтів при рівних степенях змінної х.

Розглянемо визначення таких інтегралів.

Задача 5.23. Визначити .

Розв’язання. Маємо

.

Тоді

;

;

;

.

Маємо

.

Задача 5.24. Визначити .

Розв’язання. Маємо

.

Тоді

;

;

.

Маємо

.

8. Способи інтегрування ірраціональних функцій

Визначення інтегралів від ірраціональних функцій можливе лише в окремих випадках, до яких слід віднести

,

де – раціональна функція; , – раціональні числа; визначення може бути отриманим при використанні зміни змінної , де – спільний знаменник значень показників степенів змінної х, тобто та інші;

може бути отриманим при зміні змінної , або ;

, ,

можуть бути отримані при зміні змінної відповідно , , .

Задача 5.25. Визначити .

Розв’язання. Використаємо заміну змінної , тоді маємо

.