Лабораторная работа. Изучение механических колебаний

Изучение механических колебаний

Движение, повторяющееся через отдельные промежутки времени, называется колебательным. В живом организме и при диагностике и лечении заболеваний очень широко распространены процессы с повторением различных состояний и описывающих их параметров.

ЦЕЛЬ занятия:

1. Ознакомиться с характеристиками колебаний.

2. Изучить сложение гармонических колебаний и явление резонанса.

Исходные знания:

1. Знать виды механических колебаний.

План изучения темы:

1.Свободные механические колебания (незатухающие и затухающие).

2. Кинетическая и потенциальная энергии колебательного движения.

3. Сложение гармонических колебаний.

4. Сложное колебание и его гармонический спектр.

5. Вынужденные колебания. Резонанс.

6. Автоколебания.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Лекции.

2. А.Н. Ремизов. Медицинская и биологическая физика, М., 2004, гл. 5, с.71-87.

3. Н.М. Ливенцев Курс физики, М., 1978, т.1, гл.4. с. 67-81.

4. М.Е. Блохина, И.А. Эссаулова, Г.В. Мансурова. Руководство к лаб. работам по медицинской и биологической физике, М., 2001, с. 44-52.

ТЕОРЕТИЧЕСКие предпосылки работы:

Многие процессы в организме являются периодическими, и их можно рассматривать как колебательные, например, процесс дыхания, работа сердца, электрические процессы в сердце и т.д. Рассмотрим механические колебания материальной точки массой m. Примером такой колебательной системы служит пружинный маятник. По второму закону Ньютона

(1)

Предположим, что в данном случае силой трения можно пренебречь, тогда колебания будут происходить под действием упругой силы F = -kx. Тогда соотношение (1) принимает вид:

(2)

Заменяя , получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний

(3)

Его решение имеет вид:

(4)

где ω₀ – круговая частота колебаний,

А - амплитуда, (ω₀t + φ₀)— фаза колебаний,

φ₀ - начальная фаза,

x - смещение колеблющейся точки относительно положения равновесия.

График зависимости х = f(t) изображен на рис. 1. Гармонические колебания можно изображать в виде векторных диаграмм (рис. 2). Из точки О, взятой на оси ОХ, проводят вектор А, модуль которого равен амплитуде колебаний.

Рис. 1. Рис.2.

Угол φ представляет собой фазу колебаний, а проекция вектора А на ось OX – смещение колеблющейся точки.

Материальная точка может одновременно участвовать в нескольких колебательных движениях. При сложении двух гармонических колебаний, направленных по одной прямой, получается более сложное колебательное движение. Пусть материальная точка участвует в двух гармонических колебаниях одного направления и с одинаковой круговой частотой ω₀:

Тогда результирующее смещение х точки равно алгебраической сумме обоих смещений:

x = x₁+ x₂, (5)

а результирующее движение представляет собой периодическое колебательное движение с той же частотой.

Амплитуда А результирующего колебания равна

(6)

Начальную фазу φ₀ результирующего колебания можно вычислить по формуле

(7)

Если частоты складываемых колебаний неодинаковы, то результирующее движение будет негармоническим. При сложении двух гармонических колебаний, совершающихся во взаимно перпендикулярных направлениях, получаются различные траектории материальной точки, называемые фигурами Лиссажу. Форма этих фигур зависит от соотношения частот, фаз и амплитуд складываемых колебаний.

Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухание свободных механических колебаний вызывается главным образом трением. Д ифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:

(8)

где (ω₀ – круговая частота собственных колебаний системы (k/m = ); β — коэффициент затухания (2β=r/m). Если > β², то решение этого уравнения имеет вид:

(9)

где ω_{0 –} круговая частота затухающих колебаний ω²=(), A₀ – начальная амплитуда, φ₀ – начальная фаза. График зависимости x = f(t) изображеннарисунке 3.

Если > β², то колебаний нет и движение будет апериодическим .

Рис.3.

Кроме коэффициента затухания, для характеристики затухающих колебаний используют логарифмический декремент затухания λ. Он определяется как натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимсянапериод:

(10)

Колебания тела, вызванные и поддерживаемые внешней силой, периодически изменяющейся по величине и направлению, называются вынужденными колебаниями, а внешняя сила – вынуждающей силой. Пусть вынуждающая сила изменяется по закону

F = F₀cosωt,

(11)

где f₀ — максимальное значение силы, ω — круговая частота. Тогда дифференциальное уравнение вынужденных колебаний принимает вид:

( 12 )

Решение этого уравнения представляет собой сумму уравнений, описывающих свободные и вынужденные колебания.

Свободные колебания довольно быстро затухают. Поэтому, пренебрегая собственными колебаниями системы, решение уравнения (12) записывают в следующем виде:

x= А соs (ωt + φ₀).

( 13)

Таким образом, под действием периодической внешней силы ( 11 ) возникаютвынужденные гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы.

В этом случае, если частота ω вынуждающей силы принимает значение ω_рез, амплитуда вынужденных колебаний системы достигает максимального значения. Это явление называется резонансом. Частота ω_рез называется резонансной частотой:

(14)

Амплитуда колебаний А_рез, определяется по формуле

(15)

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:

1. Что такое колебательное движение?

2. Какие виды колебаний различают?

3. Какие колебания называются гармоническими?

4. Что называется смещением? амплитудой? периодом? частотой? фазой колебаний?

5. Запишите дифференциальное уравнение гармонического колебания.

6. Запишите уравнения смещения, скорости и ускорения при гармоническом колебании.

7. В чем заключается метод векторных диаграмм?

8. Опишите процесс сложения гармонических колебаний, направленных по одной прямой и во взаимно перпендикулярных направлениях.

9. Запишите дифференциальное уравнение затухающего колебания.

10. Запишите уравнение смещения для затухающего колебания.

11. Как зависит амплитуда затухающих колебаний от времени?

12. Что такое коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания?

13. Какие колебания называются сложными? Что такое гармонический спектр сложного колебания?

14. Какие колебания называют вынужденными? Запишите уравнение смещения для вынужденного колебания.

15. В чем заключается явление резонанса при вынужденных колебаниях?

16. Какие колебания называют автоколебаниями?

Приборы и принадлежности:

Персональный компьютер.

Схема работы: