Случайные погрешности

Случайной называется погрешность, которая меняется от опыта к опыту произвольным образом и может принимать как положительное, так и отрицательное значение. Если измерение физической величины выполнено всего один раз, дать оценку случайной погрешности нельзя. Получить ее значение можно только на основании нескольких измерений. При увеличении их числа случайная погрешность уменьшается.

Предположим, удалось выявить все источники систематической погрешности, и свести их к минимуму. Тем не менее, источники случайных отклонений не исчезли. Например, в случае использования ручного секундомера, случайной величиной будет своевременность остановки прибора рукой человека. Какой бы малой ни была систематическая погрешность, случайная ошибка в этом случае останется, причем для каждого экспериментатора она будет своя. Разброс времени будет в основном определяться его реакцией. Иногда она будет преждевременной, а иногда замедленной. Известно, что 68% отклонений при использовании спортивного секундомера лежит в пределах 0,3с. Если таймер включается и выключается с помощью электронных оптических датчиков, то погрешность может быть связана с работой электронной схемы, или с нестабильностью работы фотодиода. Если выполнить серию измерений, будет наблюдаться разброс значений, по которому можно оценить случайную погрешность.

Пусть истинное значение величины x равно . Предположим, что величина x измеряется бесконечное число раз, тогда получится совокупность , образующая бесконечное множество всех возможных значений величины x, расположенных вокруг истинного значения , а для любого интервала можно рассчитать вероятность попадания в него случайной величины x. Функция, характеризующая вероятность этого попадания, носит название плотности вероятности. Обычно при выполнении эксперимента предполагают, что возможно влияние множества незначительных случайных факторов и используют функцию нормального распределения Гаусса. Она имеет вид:

. (4)

Здесь x – значение случайной величины, полученное в единичном измерении, - ее истинное значение, - дисперсия значений физической величины, - ее среднее квадратическое отклонение.

График функции нормального распределения изображен на рис. 1. Он симметричен относительно вертикальной прямой , являющейся центром распределения. Его ширину характеризует величина , которая называется квадратичным отклонением от истинного значения случайной величины или среднеквадратичным отклонением. Площадь под кривой равняется единице.

Допустим, выполнено N опытов и получены значения величины x: . Наилучшим приближением истинного значения является среднее арифметическое, рассчитываемое по формуле:

. (5)

Набор из N экспериментальных значений также называют выборкой, а формулу (5) - формулой для выборочного среднего. Квадратичное отклонение от среднего значения случайной величины рассчитывается на основе выборки по формуле:

. (6)

Квадрат этой величины называется дисперсией распределения:

. (7)

Случайные величины, распределенные по нормальному закону, различаются значениями параметров и , поэтому полезно выяснить, как эти параметры влияют на вид нормальной кривой.

Пусть не меняется, а меняется только , тогда:

1) чем меньше , тем более острым будет максимум, а кривая вытянута вверх,

2) чем больше , тем более пологим будет график, и более растянутым вдоль оси абсцисс.

Теперь пусть остается неизменным, а меняется . Форма кривых остается неизменной, но меняется положение ее центра симметрии по оси абсцисс.

Рис. 1. График функции нормального распределения.

Вероятность получить в единичном измерении значение, лежащее в некотором интервале определяется интегралом:

. (8)

Вероятность того, что результат однократного измерения будет находиться в пределах одного среднеквадратичного отклонения от , равна:

. (9)

Формула (9) означает, что 68,3% однократных измерений попадают в интервал . Вероятность попадания результата окажется в отрезок ± 2σ, равна 95,45%, а вероятность результата в пределах ± 3σ составляет 99,73%.

Пусть выполнено N измерений величины x, имеющей нормальное распределение. Наилучшей оценкой истинного значения величины x будет среднее арифметическое (5). Погрешность этой оценки называется стандартным отклонением среднего и вычисляется по формуле:

. (10)

Величина также называется стандартной погрешностью. Значение , найденное после серии из N измерений определяется набором , но поскольку - случайные значения, то значение также является случайным. Выборочное среднее (5) будет распределено по нормальному закону (4), но следует заменить на (10). Формулы (8) и (9) расчета вероятности для среднего значения остаются в силе с учетом замены на . Можно быть уверенным на 68,3%, что истинное значение лежит в пределах интервала , называемого 68-процентным доверительным интервалом. Величина 68% здесь является коэффициентом доверия (надежности). Для того, чтобы рассчитать доверительный интервал с большей надежностью, необходимо его увеличить, умножив стандартное отклонение среднего на коэффициент, который называется коэффициентом Стьюдента:

. (11)

Интервал (11) называется α – процентным доверительным интервалом. Это значит, что α процентов средних значений измеряемой величины, с учетом случайной погрешности, лежит в пределах интервала вида (11). Коэффициенты Стьюдента для заданной надежности и числа измерений N записаны в таблице Приложения. Обычно доверительный интервал рассчитывают с высокой степенью надежности: например 95% доверительный интервал или 99% доверительный интервал. C учетом случайной погрешности результат записывается в виде:

. (12)

Полная погрешность измерений определяется как случайной, так и систематической погрешностью и рассчитывается по формуле:

. (13)

Пример. Измерим при помощи микрометра диаметр проволоки в десяти точках, рассчитаем его наилучшее приближение, 99,7% доверительный интервал и полную погрешность. Систематическая погрешность микрометра равна . Измерения (в мм) запишем в таблицу:

Таблица 2

0,51	0,52	0,50	0,49	0,49	0,50	0,49	0,49	0,50	0,51

Рассчитаем наилучшее приближение диаметра:

Найдем стандартное отклонение среднего:

.

Умножим эту величину на коэффициент Стьюдента для десяти измерений, равный 2,8 для 98% доверительного интервала (надежность 0,98):

.

Тогда .

Теперь мы можем написать наилучшую оценку диаметра проволоки:

.