Числовые ряды

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

ПО КУРСУ

«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

ЧАСТЬ 4

РЯДЫ

Новочеркасск 2013

УДК 512

Рецензент: кандидат физико-математических наук, доцент Н.В.Кирпиченкова

Составители: Никифоров А.Н., Власов М. В., Пасенчук А.А.

Задачи и упражнения по курсу «Математический анализ»: Методическое пособие. Ч. 4. Ряды / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2013.

Сборник содержит задачи и упражнения для проведения практических занятий, предусмотренных учебным планом по курсу «Математический анализ» для бакалавров, обучающихся по направлению «Прикладная математика. Может быть использован студентами других специальностей при изучении соответствующих разделов высшей математики.

Ó Южно-Российский государственный технический университет, 2013

Ó Авторы. 2013

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

1.1. Основные понятия. Пусть числовая последовательность, т.е. множество . Выражение вида (формально составленная сумма)

называется числовым рядом, а – его n -м членом.

Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм . Предел последовательности равный s называется суммой ряда, т.е. . В этом случае пишут

.

Пример 1. Исследуйте ряд на сходимость

.

Решение. Рассмотрим последовательность :

, , , …, , , …

Эта последовательность не имеет предела, поэтому ряд расходится.

Пример 2. Проверьте, сходится ли ряд

.

Решение. Составим последовательность частичных сумм .

.

.

Поскольку , то ряд сходится и его сумма .

Аналогичным образом, можно найти сумму ряда

, где .

Пример 3. Исследуйте ряд на сходимость

.

Решение. Частичной суммой этого ряда является сумма членов геометрической прогрессии

.

,

если и в этом случае, ряд сходится. При ряд расходится.

Пример 4. Исследуйте ряд на сходимость.

Решение.

.

При частичная сумма ряда . Ряд расходится.

Пример 5. Покажите, что ряд сходится.

Решение. Рассмотрим n -ю частичную сумму ряда

Используя очевидное равенство

,

преобразуем сумму

.

Перейдя к пределу при , получим

.

В силу определения, данный ряд сходится, и его сумма равна .

Необходимый признак сходимости: если числовой ряд сходится, то предел его n -го члена равен нулю.

Пример 6. Исследуйте ряд на сходимость.

Решение. Ряд расходится, так как

.