Геометрический способ задания вероятности

При данном способе пространство элементарных событий является бесконечным, но все элементарные события, входящие в это пространство, являются равновозможными.

Если отождествлять пространство элементарных событий с некоторой замкнутой областью пространства из , то вероятность события будет вычисляться по формуле

где и мера области:

· Это длина (если рассматривается пространство

· площадь (если рассматривается пространство

· объем (если рассматривается пространство

Аксиома 1:

Вероятность р(Ф) случайного события А есть функция множества элементарных исходов благоприятных событий А, и вероятность любого события принимает значения: 0≤р(А)≤1, при чем вероятность р(Ø)=0, ф р(Ω)=1.

Аксиома 2:

Вероятность суммы несовместных случайных событий = сумме вероятностей этих событий: при условии Аi*Ai=Ø для любых i и j.

5. Теорема сложения вероятностей.

Пусть для некоторого случайного эксперимента построено пространство элементарных событий Числовая неотрицательная функция удовлетворяет следующим свойствам:

1. Если события образуют полную группу событий, то вероятность объединения этих событий равна единице:

2. Вероятность противоположного события:

3. Если событие влечет за собой событие , то вероятность события не превосходит вероятность события , т.е.

Пусть и - наблюдаемые события в эксперименте, причем . Условной вероятностью осуществления события при условии, что событие произошло в результате данного эксперимента, называется величина, определяемая равенством:

Теорема сложения:

Пусть событие -совместные события. Тогда вероятность их объединения вычисляется по формуле:

.

6. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Пусть для некоторого случайного эксперимента построено пространство элементарных событий Числовая неотрицательная функция удовлетворяет следующим свойствам:

1. Если события образуют полную группу событий, то вероятность объединения этих событий равна единице:

2. Вероятность противоположного события:

3. Если событие влечет за собой событие , то вероятность события не превосходит вероятность события , т.е.

Пусть и - наблюдаемые события в эксперименте, причем . Условной вероятностью осуществления события при условии, что событие произошло в результате данного эксперимента, называется величина, определяемая равенством:

Теорема умножения:

Вероятность произведения событий равна произведению вероятностей событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие имели место:

7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть случайный эксперимент можно описать событиями которые являются попарно несовместными и Такие события называют гипотезами. Предполагается, что событие может произойти с одной из гипотез .

Теорема: Вероятность любого события , которое может произойти с одной из гипотез будет равна сумме произведений вероятностей гипотез на условную вероятность события : - формула полной вероятности.

Пусть случайный эксперимент можно описать попарно несовместными событиями объединение которых образует пространство элементарных событий Событие может произойти с одной из гипотез. Предполагается, что в результате эксперимента произошло событие . Как изменится вероятность гипотез при этом? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Пусть событие может произойти с одной из гипотез которые описывают случайный эксперимент. Если в результате реализации эксперимента произошло событие , то вероятность гипотез вычисляются по следующим формулам:

- формулы Байеса.

8. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

Пусть проводиться n независимых одинаковых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Вероятность того, что событие А произойдет ровно в к опытах из n испытаний, вычисляется по формуле Бернулли: , где q=1-p, вероятность того, что событие А не появится в 1 опыте.

Свойства формулы Бернулли:

1) Правая часть формулы представляет собой общий член разложения бинома Ньютона: .

2) Число k0, которому соответствует max вероятность P(n, k0) называется наивероятнейшим числом появления события А и определяется по формуле: .

3) Вероятность, что в n испытаниях событие А появится хотя бы 1 раз =: .

9. Наивероятнейшее число наступлений события.

Вычисление вероятности P(n,k) при больших значениях числа n по формуле Бернулли проблематично. Поэтому вычисление соответствующих вероятностей проводится с помощью приближенных формул.

Если количество испытаний велико n-> ∞, а вероятность наступления события мало р->0, так что n*p->a, где 0<a<∞ и вероятность намного меньше, чем , то используется формула Пуассона (предельная для формулы Бернулли): , где a=n*p.

10. Локальная теорема Муавра – Лапласа

В случае, если число испытаний велико (n>>20, p>0,1) и интересующее нас событие наступает ровно л раз применяется локальная теорема Муавра-Лапласа. Вероятность вычисляется по формуле, где , где φ(х) – функция Гаусса, которая имеет табулированное значение, .

Функция φ(х) является четной, аргумент 0≤х≤3,999… При значениях больших указанных в области определения функция принимает значение 0.

11. Интегральная теорема Лапласа.

При условии, что n>>20, p>0,1 и интересующее нас событие наступает от к1 до к2 раз, применяется интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Вероятность: , где Ф(х) – табулированная функция Лапласа.

Свойства функции Ф(х):

- нечетная: Ф(-х)=-Ф(х);

- для аргумента функции 0≤х≤5 значения функции находятся по таблице;

- при х≥5 Ф(х)=0,5.

12. Функция распределения случайной величины и ее свойства.

Функция распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение меньше, чем аргумент х:

F(x)=р(Х<х).

Свойства F(x):

1) Значение функции F(-∞)=0;

2) F(+∞)=1;

3) Если F(x1)≤ F(x2), то х1<х2.

Функция распределения используется для рассмотрения как дискретных, так и непрерывных случайных величин.

13. Дискретные случайные величины.

Случайная величина, обозначаемая , называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное множество значений, т.е. множество -конечное, либо счетное.

Законом распределения дискретной случайной величины называется совокупность пар чисел , где - возможные значения случайной величины, а - вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем

Зная закон распределения случайной величины, можно вычислить функцию распределения: где суммирование распространяется на все значения индекса , для которых

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений и соответствующих им вероятностей:

Модой дискретной случайной величины, обозначаемой называется ее наиболее вероятное значение.

Медианой случайной величины называется такое ее значение , для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше , т.е.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожиданиеквадрата ее отклонения: Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле: или

Средним квадратическим отклонением (стандартом) случайной величины называется арифметический корень из дисперсии, т.е.

Начальным моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание -й степени этой случайной величины, т.е. Для дискретной случайной величины

Центральным моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание -й степени отклонения , т.е. .Для дискретной случайной величины

+ Непрерывные случайны величины:

Случайная величина называется непрерывной, если существует такая неотрицательная, интегрируемая по Риману функция , называемая плотностью распределения вероятностей, что при всех Множество значений непрерывнойслучайной величины - некоторый числовой интервал.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величиныХ называют предел, если он существует, отношения вероятности попадания случайной величины Х на отрезок , примыкающей к точке , к длине этого отрезка, когда последний стремится к 0, т.е. .

Функция распределения случайной величины – это функция действительной переменной , определяющая вероятность того, что случайная величина принимает значение меньше некоторого фиксированного числа , т.е.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины:

; ;

Модой непрерывной случайной величины называется действительное число , определяемое точка максимума плотности распределения вероятностей .

Медианой непрерывной случайной величины называется действительное число , удовлетворяющее условию , т.е. корень уравнения

Начальный момент го порядка:

Центральный момент го порядка:

Коэффициент асимметрии или «скошенности» распределения

Коэффициент эксцесса или островершинности распределени

Случайная величина называется центрированной, если Если же для случайной величины то она называется центрированной и нормированной (стандартизованной) случайной величиной.

14. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.

СВ Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) – непрерывная и дифференцируемая функция для всех значений аргумента.

Вероятность попадания НСВ Х на участок от х до х+△х = приращению функции распределения на этом участке: p(x<X<x+△x)=F(x+△x)-F(x).

Тогда плотность вероятности на этом участке = .

При △x-> и переходя к пределу, получаем:

– плотность распределения вероятности

Плотность распределения вероятности – функция, которая является 1 из форм закона распределения непрерывной СВ.

График плотности распределения называется кривой распределения.

Свойства f(x):

1) Плотность распределения неотрицательна f(x)≥0, т.к. ее первообразная F(x) является неубывающей функцией;

2) Условие нормировки: ;

3) F(x)= ;

4) Вероятность попадания СВ в интервал (α;β): P(α<X<β)= .

15. Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величины и их свойства.

Математическое ожидание М(х) – характеризует среднее значение случайной величины и вычисляется:

В качестве М(Х) используются средне взвешенные значения, при чем каждое из значений СВ учитывается с весом пропорциональным вероятности этого значения.

Физический смысл М(Х):

Среднее значение СВ, т.е. то значение, которое используется вместо СВ в приближенных расчетах.

Свойства М(Х):

1) М(С)=С

2) М(X+-Y)=M(X)+-M(Y)

3) M(C*X)=C*M(X)

16. Дисперсия случайной величины и ее свойства.

Дисперсия СВ характеризует степень рассеивания (разброса) значений СВ около ее математического ожидания и определяется по формулам:

Свойства Д(Х):

1) Д(С)=0

2) Д(С*Х)=С*C*Д(Х)

3) Д(X+-Y)= Д (X)+ Д (Y)

Дисперсия СВ имеет размерность квадрата СВ, поэтому для анализа диапазона значений СВ Х дисперсия не совсем удобна. Для этого используется средне квадратическое отклонение, размерность которого совпадает с размерностью СВ Х: .

17. Биноминальный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной, величины распределенной по биноминальному закону.

Биноминальным называют закон распределения дискретной случайной величины - числа появлений событий в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна ; вероятность возможного значения (числа появлений события) вычисляют по формуле Бернулли: , где . При этом математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:

Условия возникновения: проводится n одинаковых независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. СВ Х – число опытов, в которых произошло событие А.

18. Закон распределения Пуассона. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

Если число испытаний велико, а вероятность появления события в каждом испытании мала, то вероятность того, что некоторое событие появиться раз в испытаниях, приближенно вычисляется по формуле: , где - число появлений событий в независимых испытаниях, - среднее число появлений событий в испытаниях. Случайная величина, характеризующая число наступлений события в независимых испытаниях, распределена по закону Пуассона, если

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона:

Условия возникновения: применяется, когда число опытов n неограниченно увеличивается, а вероятность р наступления события А в 1 опыте ->0, так что существует предел: .

19. Равномерный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по равномерному закону.

Равномерное распределение: Пусть плотность вероятности равна нулю всюду, кроме отрезка , на котором все значения случайной величины Х одинаково возможны. Выражение плотности распределения вероятностей имеет следующий вид:

Функция равномерного распределения задается формулой:

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение соответственно равны:

20. Показательный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по показательному закону.

Показательное распределение. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , которое описывается функцией плотности вероятности: где постоянная и называется параметром экспоненциального распределения.

Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, имеет вид:

Математическое ожидание . Дисперсия , среднее квадратическое отклонение .

Условия возникновения: СВ Х – интервал времени между 2 соседними событиями в простейшем или Пуассоновском процессе/потоке СС, λ – интенсивность потока.

21. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по нормальному закону.

Распределение с непрерывной случайной величины называется нормальным, если плотность распределения ее описывается формулой: где - параметры распределения.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону:

Полученный интеграл нельзя выразить через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию: , называемую нормальной функцией распределения (функцией Лапласа). Эта функция неубывающая, непрерывная слева и

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

22. Выражение функции распределения нормальной величины через функцию Лапласа. Вероятность попадания значения нормальной случайной величины в заданный интервал, правило трех сигм.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону:

Полученный интеграл нельзя выразить через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию: , называемую нормальной функцией распределения (функцией Лапласа). Эта функция неубывающая, непрерывная слева и

Вероятность попадания случайной величины , подчиненной нормальному закону распределения, на заданный интервал , определяется следующим образом:

или

функция Лапласа.

Вероятность заданного отклонения вычисляется по формуле:

или

Интервалом практически возможных значений случайной величины , распределенной по нормальному закону, будет интервал

23. Корреляционный момент и коэффициент корреляции и их свойства.

Корреляционным моментом независимых случайных величин и , входящих в двумерную случайную величину , называют математическое ожидание произведений

отклонений этих величин:

Корреляционный момент двух независимых случайных величин и , входящих в двумерную случайную величину , равен нулю.

Коэффициентом корреляции случайных величин и , входящих в двумерную случайную величину , называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Коэффициент корреляции удовлетворяет условию и определяет степень линейной зависимости между и . Случайные величины, для которых = 0, называются некоррелированными.

Уравнения и называют уравнениями регрессии, а линии, определяемые ими, - линиями регрессии.

24. Моменты случайной величины. Ассиметрия и эксцесс.

Для ДСВ:

Начальным моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание -й степени этой случайной величины, т.е. Для дискретной случайной величины

Центральным моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание -й степени отклонения , т.е. .Для дискретной случайной величины

Для НСВ:

Начальный момент го порядка:

Центральный момент го порядка:

Коэффициент асимметрии или «скошенности» распределения

Коэффициент эксцесса или островершинности распределения

Случайная величина называется центрированной, если Если же для случайной величины то она называется центрированной и нормированной (стандартизованной) случайной величиной.

25. Неравенство Маркова и Чебышева.

Неравенство Чебышева: Вероятность того, что случайная величина отклоняется от своего математического ожидания на величину не меньше , ограничена сверху величиной , где - положительное действительное число:

или

Неравенство Маркова: Если СВ Х принимает только не отрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа ε верно равенство:

или .

26. Закон больших чисел «в форме» теоремы Чебышева.

Теорема Чебышева (закон больших чисел): Если последовательность независимых случайных величин, которые имеют конечное математические ожидания и ограниченные дисперсии , то средние арифметические наблюденных значений случайных величин сходиться по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

.

27. Теорема Бернулли.

Теоремы Бернулли: Если производится испытаний, в каждом из которых некоторое событие может появиться с вероятностью , то относительная частота появления события в испытаниях сходится по вероятности к вероятности появления события в каждом испытании:

28. Понятие о «центральная предельная теорема». Теорема Ляпунова.

Теорема Ляпунова: Если независимые случайные величины, имеющие конечные математические ожидания и дисперсии и абсолютные центральные моменты третьего порядка, удовлетворяющие условиям: то закон распределения величины сходится к нормальному закону распределения с плотностью распределения вероятности для которой

Эта теорема имеет большое практическое значение, так как, используя ее, можно вычислить вероятность того, что сумма независимых случайных величин принимает значение, принадлежащее интервалу.

Условие характеризует тот факт, что все случайные величины сравнимы между собой, то есть ни одна из случайных величин не имеет преимущество перед другими случайными величинами.

29. Статистическая совокупность. Генеральная и выборочная совокупности. Несмещенная, состоятельная и эффективная оценка параметров.

Математическая статистика – раздел высшей математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов случайных массовых явлений с целью выявления существующих закономерностей.

Вся подлежащая изучению совокупность объектов наблюдений называют генеральной совокупностью.

Та часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой. Число объектов в генеральной или в выборочной совокупности называют их объемом . Основная форма представления выборочной совокупности – вариационные ряды. Вариационный ряд – это ранжированные в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами и частостями). Выборка может быть повторная и бесповторная.

Оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной , с помощью которой судят о значении параметра .

Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру: . Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Оценка параметра называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру:

или .

Оценка параметра называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных оценок параметра , вычисленных по выборкам одного и того же объема .

30. Основные числовые характеристики статистического распределения. Среднее арифметическое и статистическая дисперсия и их свойства. Мода, медиана.

Эмпирическая функция распределения СВ Х равна частоте того, что Х примет значение меньшее, чем аргумент функции х и определяется формулой:

Для дискретного выборочного ряда средняя арифметическая равна: , а для интервального ряда: (за xi принимают середину i-го интервала).

Дисперсия равна средней арифметической квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего: . Исправленная дисперсия считается по выборке малого объема. В этом случае объем корректируется на 1:

Медиана:

В дискретном ранжированном ряду медиана определяется:

- ряд с нечетным количеством элементов – медианой является элемент, стоящий в центре ряда;

- ряд с четным числом элементов – медианой является среднее значение 2 центральных элементов.

В интервальном ряду распределения медиана находится:

, где - нижняя граница медианного интервала, h – ширина медианного интервала, - сумма всех частот ряда, – сумма накопленных частот домедианного ряда, - частота медианного интервала.

Мода:

В дискретном стат ряду распределения моде соответствует элемент, который встречается чаще всего:

В интервальном ряду распределения мода вычисляется:

, где – нижняя граница модального интервала, h – ширина модального интервала, – частота модального интервала, - частота предмодального интервала, - частота постмодального интервала.

+Вариационный размах , равный разности между наибольшим и наименьшим вариантами ряда: .

Среднее квадратическое отклонение : .

Коэффициент вариации , равный процентному отношению среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

31. Выборочный метод. Точечное оценивание.

Оценка неизвестного параметра генеральной совокупности одним числом называют точечной: = .

Выборочная доля является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли , дисперсия которой для повторной выборки равна: , а для бесповторной:

Выборочная средняя есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной средней , дисперсия которой для повторной выборки рана: , а для бесповторной: .

Выборочная дисперсия повторной и бесповторной выборок есть смещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии , так как .

Не смещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия .

32. Интервальное оценивание. Формула доверительной вероятности для большой и малой выборок.

Интервальнойоценкой параметра называется числовой интервал, который с заданной вероятностью накрывает неизвестной значение параметра. Такой интервал называют доверительным, а вероятность - доверительной вероятностью или надежностью оценки.

Наиболее часто доверительный интервал выбирают симметричным относительно параметра : , где наибольшее отклонение оценки от параметра генеральной совокупности , возможное с вероятностью и называется предельной ошибкой выборки.

При заданной доверительной вероятности и большом объемы выборке, ее предельная ошибка оценки генеральной средней и генеральной доли равна -кратной величине средней квадратической ошибки или средним квадратическим отклонениям выборочной средней и выборочной доли : и , , где -функция (интеграл вероятностей) Лапласа.

Интервальные оценки (доверительные интервалы) для генеральной средней и генеральной доли равны: ; , где и в зависимости от типа отбора (повторный или бесповторный) определяем по формулам:

· Для повторного отбора:

и ;

· Для бесповторного отбора:

и .

33. Несмещенные оценки для генерального среднего и генеральной дисперсии. Расчет доверительного интервала и объема выборки (при повторном и бесповторном отборах).

Выборочная средняя есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной средней , дисперсия которой для повторной выборки рана: , а для бесповторной: .

Для определения необходимого объема выборки необходимо задать надежность (доверительную вероятность) оценки и точность (предельную ошибку выборки) . В этом случае необходимый объем выборки для оценки генеральной средней для повторного отбора находим по формуле: , и для бесповторного отбора: .

Интервальные оценки (доверительные интервалы) для генеральной средней и генеральной доли равны: ; , где и в зависимости от типа отбора (повторный или бесповторный) определяем по формулам:

· Для повторного отбора:

и ;

· Для бесповторного отбора:

и .

34. Статистическая проверка гипотез. Нулевая и альтернативная гипотезы. Ошибки 1-го и 2-го рода при проверки гипотез. Уровень значимости, критическая область. Критерии согласия и его мощность.

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах генеральной совокупности, проверяемое по выборке.

Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой . Наряду с нулевой гипотезой рассматривают альтернативную, или конкурирующую, гипотезу , являющуюся логическим отрицанием .

Правило, по которому принимается или отвергается , называется статистическим критерием.

Вероятность отвергнуть гипотезу , при том, что она верна (т.е. принять гипотезу Н1), называется ошибкой 1 рода или уровнем значимости и обозначается α: P{H1/H0}=α.

Величина 1-α равна вероятности принять верную гипотезу и называется уровнем доверия: P{H0/H0}=1-α=γ.

Вероятность принять основную гипотезу, если она неверна, называется ошибкой 2 рода и обозначается β: P{H0/H1}=β.

Вероятность принять гипотезу Н1, если она верна, называется мощностью критерия: P{H1/H1}=1-β.

Область допустимых значений (область принятия гипотезы );

Критическая область (область отбрасывания гипотезы ). Она может быть:

· Правосторонняя, выбирается из соотношения: ;

· Левосторонняя: ;

· Двухсторонняя: .

Одной из главных задач математической статистики является установление истинного закона распределения СВ на основании экспериментальных данных. На практике о виде закона распределения можно судить по графику выборочной плотности распределения вероятностей. Параметры закона распределения обычно неизвестны и их заменяют на выборочные значения. В соответствии с этим критерием, устанавливающие закон распределения, называются критериями согласия.

35. Проверка гипотезы о равенстве средних значении для нормального распределения при известной и неизвестной генеральной дисперсиях.

Пусть Х1 є N(a1, σ1), X2 є N(a2, σ2) и дисперсии и известны (вместо х и у – 1 и 2). Имеются выборки {x1, x2,…,xn1} и{y1, y2,…, yn2} из генеральных совокупностей Х1 иХ2.

Гипотеза состоит в том, что средние распределений равны, т.е. : а1=а2, при этом Н1: а1≠а2.

Если выполняется гипотеза , то статистика будет иметь стандартное нормальное распределение N(0;1) и на заданном уровне доверия γ гипотеза проверяется, где t вычисляется по формуле: .

Если же дисперсии и неизвестны, но равны, то доказано, что в случае справедливости гипотезы статистика имеет распределение Стьюдента с k=n1+n2 – 2 степенями свободы. Здесь S1 и S2 в квадрате «неисправленные» выборочные дисперсии, т.е.: или . (1)

Для заданного уровня доверия γ по таблицам распределения Стьюдента находим tк,кр из условия P{|tк|<tк,кр}=γ, и гипотеза принимается, если полученное после вычислений по формуле (1) значение tк удовлетворяет неравенству |tк|<tк,кр.

Если n>30, то распределения средних х и у можно считать приближенно нормальными.

36. Критерий Пирсона.