Теорема 2.17 (основная теорема о симметрических многочленах)

Всякий симметрический многочлен от неизвестных x ₁, x ₂, …, x_n над полем Р является многочленом от элементарных симметрических многочленов σ ₁, σ ₂, …, σ_n с коэффициентами, принадлежащими к полю Р.

Контрольные вопросы

1. Какую степень имеет многочлен, представляющий собой комплексное число?

2. Какую степень имеет многочлен, равный сумме двух многочленов степени 3?

3. Какую степень имеет многочлен, равный произведению двух многочленов, степени 2 и 3?

4. Какую наибольшую степень может иметь остаток от деления многочлена на многочлен третьей степени?

5. Какую степень имеет остаток от деления квадратного многочлена на кубический многочлен?

6. Какую степень имеет частное от деления многочлена седьмой степени на многочлен первой степени?

7. В каком случае остаток отделения многочлена на ненулевой многочлен равен ?

8. На какие многочлены второй степени делится многочлен ?

9. Какими свойствами обладает отношение делимости многочленов?

10. Какую степень имеет многочлен, на который делятся все многочлены?

11. В каком случае два многочлена и делятся друг на друга?

12. Какие корни имеет многочлен ? Указать их кратности.

13. Что можно определить с помощью схемы Горнера?

14. Кратные корни. Теорема о понижении кратности корня при дифференцировании. Следствие.

15. Пусть и . Какую кратность имеет корень c многочлена ?

16. Как задается интерполяционный многочлен Лагранжа?

17. Сколько действительных корней может иметь многочлен третьей степени с действительными коэффициентами?

18. Сколько действительных корней может иметь многочлен пятой степени с действительными коэффициентами?

19. Привести пример неприводимого в поле рациональных чисел многочлена, пользуясь критерием Эйзенштейна.

20. Перечислить элементарные симметрические многочлены от трех неизвестных.