Теплопроводность цилиндрической однослойной стенки

Задача о теплопроводности цилиндрической стенки представляет большой технический интерес. Решение такой задачи позволяет провести расчёт передачи тепла в трубах, которые широко используются как поверхность нагрева в различного вида теплообменниках.

Предполагаем, что температура не меняется по оси трубы и по окружности трубы, по углу φ (рис. 9.6.), т. е. как и в случае плоской стенки, задача является одномерной.

Рис. 9.6. Цилиндрическая однослойная стенка. Теплота передается

от внутренней поверхности к внешней

Допустим, что стенка выполнена из однородного материала, коэффициент теплопроводности λ которого известен и не зависит от температуры. Известны также внутренний и наружный радиусы трубы r ₁, r ₂ и температуры внутренней и наружной поверхности t ₁ и t ₂, которые не меняются во времени.

Выделим в стенке трубы цилиндрическую поверхность радиусом r, площадь которой:

(9.24)

где l – длина трубы.

Количество теплоты, переданной через эту поверхность, можно определить по уравнению Фурье:

(9.25)

Это количество теплоты должно равняться тому количеству, которое проходит через внутреннюю поверхность. Следовательно, величина Q постоянна и не зависит от значения текущего радиуса r. Это позволяет разделить переменные в написанном уравнении:

(9.26)

В рассматриваемой трубе при переходе от радиуса r = r ₁ до r = r ₂ температура меняется от t = t ₁ до t = t ₂. Следовательно,

(9.27)

После интегрирования получим:

(9.28)

Решая уравнение относительно Q, получаем:

(9.29)

Как правило, количество переданной теплоты удобнее относить к одному метру длины трубы (к одному погонному метру), тогда:

(9.30)

Плотность теплового потока на внутренней поверхности будет:

(9.31)

на наружной поверхности:

(9.32)

Поскольку внутренняя и внешняя поверхности трубы имеют различную площадь, значения плотности теплового потока q _r1 и q _r2 различны. Чтобы найти значение температуры на любом радиусе r в толщине цилиндрической стенки, проинтегрируем левую часть уравнения (9.26) в пределах от t ₁ до текущего значения температуры t, а правую – от r ₁ до текущего значения радиуса r:

После интегрирования получим:

откуда:

(9.33)

Подставим в последнее выражение известную величину Q из уравнения (9.29):

(9.34)

Зависимость температуры от радиуса в цилиндрической стенке изображается логарифмической кривой (линия t ₁… t ₂, рис. 9.6.).

Подставляя значения Q в уравнение (9.26), найдём выражение для градиента температуры в цилиндрической стенке:

Градиент температуры в цилиндрической стенке измеряется обратно пропорционально радиусу. Угол наклона линии t = t (r) к горизонтальной оси уменьшается по мере увеличения радиуса.

Поэтому при направлении теплового потока наружу кривая расположена выпуклостью вниз (см. рис. 9.6.), а при направлении теплового потока внутрь трубы – выпуклостью вверх (рис. 9.7.).

Рис. 9.7. Цилиндрическая однослойная стенка. Теплота передается

от внешней поверхности к внутренней

Иногда для расчётов теплового потока однослойной цилиндрической стенки пользуются видоизменённой формулой для плоской стенки:

(9.35)

где δ – толщина стенки, равная , м;

d _ср – средний диаметр , м;

φ – поправочный коэффициент, зависящий от соотношения диаметров

(см. табл. 9.1).

Таблица 9.1. Значения поправочного коэффициента φ для расчётов теплового потока однослойной цилиндрической