Определение и основные свойства векторов a b c.Геометрический смысл смешанного произведдения. Вычисление смешанного произведения векторов

Определение. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется скалярное произведение первого вектора навекторное произведение второго вектора на третий и обозначается

.

Смешанное произведение векторов , и обозначается или .

Теорема: Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах, взятому со знаком плюс

если тройка правая, и со знаком минус, если тройка левая.Действительно, , где φ -

угол между векторами и

, а θ - угол между векторами

и . Объем параллелепипеда,

построенного на векторах ,

и , равен (рис. 13)

произведению площади основания

на высоту . Таким образом,

первое утверждение доказано. Знак смешанного произведения совпадает со знаком

cosθ, и поэтому смешанное произведение положительно когда

направлен в ту же сторону от плоскости векторов

и , что и вектор

, т. е. когда тройка ,

, правая. Аналогично

доказывается, что смешанное произведение левой тройки векторов отрицательно.

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. .

14.Вывод общего уравнения прямой на плоскости, если задана точка , принадлежащая этой прямой, и вектор нормали = , перпендикулярный этой прямой.

выберем на плоскости произвольную точку . Обозначим и — радиус-векторы точек и . Точка принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны (рис.3.5,б). Условие ортогональности запишем при помощи скалярного произведения (см. разд. 1.6.2):

Учитывая, что , получаем векторное уравнение прямой:

Это уравнение можно записать в другой форме. Преобразуем левую часть, используя свойства скалярного произведения (см.). Обозначая , получаем уравнение

или

выражающее постоянство проекций на нормаль радиус-векторов точек, принадлежащих прямой.

Получим координатную форму записи векторного уравнения прямой (3.5). Так как и , по формуле (1.9) находим или

Полученное соотношение (3.7) позволяет по координатам точки и координатам нормали записать уравнение прямой без промежуточных вычислений.

Обозначив , получим уравнение

15. Вывод параметрических и канонического уравнений прямой на плоскости, если задана точка , принадлежащая этой прямой, и направляющий вектор = , параллельный этой прямой.

Пусть прямая l задана точкой и направляющим вектором (см. рис. 11.5.2). Пусть M – произвольная точка прямой.

Рисунок 11.5.2

Рисунок 11.5.3

Обозначим и радиус-векторы точек и M соответственно. Вектор параллелен прямой, и, следовательно, вектору тогда и только тогда, когда M лежит на прямой. Так как то

Переменная t, принимающая различные значения, называется параметром, а уравнение – векторно-параметрическим уравнением прямой.

Если ввести систему координат то уравнение можно записать в виде

где и – координаты точек и M, а – координаты вектора Отсюда следует, что

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Пусть и тогда из уравнений следует, что и, окончательно, уравнение которое называется каноническим уравнением прямой, с направляющим вектором

16. Вывод уравнения прямой на плоскости «в отрезках».

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим то что нужно: или

, где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1,, а = -1, b = 1.

17. Вывод уравнения прямой линии, проходящей через точки и . Результат записать либо в канонической форме, либо в виде общего уравнения. (M1=A, M2=B)

Пусть даны точки A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂). Уравнение прямой, проходящей через точки A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂) имеет вид:

(8)

Если данные точки A и B лежат на прямой, параллельной оси O_x (у₂-у₁=0) или оси O_у (х₂-х₁=0), то уравнение прямой будет соответственно иметь вид у=у₁ или х=х₁

Пример 4. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точки A(1;2) и B(-1;1).

Решение: Подставляя в уравнение (8) x₁=1, y₁=2, x₂=-1; y₂=1 получим:
откуда или 2у-4=х-1, или окончательно х-2у+3=0

18. Нормирование общего уравнения прямой линии : . Получение выражения для вычисления отклонения произвольной точки от заданной прямой линии .

Общее уравнение прямой

А х + В у + С = 0

всегда можно привести к нормированному виду (нормировать). Если С < 0, то, умножив обе части уравнения на нормирующий множитель , получим уравнение

которое является нормированным, так как вектор как легко проверить- единичный, а свободный член уравнения меньше или равен нулю.

Случай С > 0 сводится к предыдущему умножением обеих частей уравнения на —1. Поэтому, если С > 0, то за нормирующий множитель следует взять число

Задача. Вычислить расстояние от начала координат до прямой 6 х — 8 y + 25 = 0.

Тaк как С = 25 > 0, то, умножив обе части уравнения на нормирующий множитель

, получим нормированное уравнение данной прямой

— 0,6 х + 0,8 y — 2,5 = 0.

Учитывая геометрический смысл свободного члена нормированного уравнения прямой, видим, что искомое расстояние равно 2,5.

ОТКЛОНЕНИЕ + точка

Пусть l — произвольная прямая (рис. 102).

Обозначим через р расстояние от начала координат до прямой l, а через φ — угол между осью О х и нормальным вектором прямой l. Угол будем отсчитыватп от оси О х в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Очевидно, что положение прямой на плоскости полностью определяется заданием величин р и φ. Выразим коэффициенты уравнения прямой l через р и φ.

Пусть М₀ — точка пересечения прямой l и перпендикулярной ей прямой, проходящей через начало координат, п ₀ — единичный нормальный вектор прямой l, т. е. | п ₀| = 1. Координаты точки М₀ и вектора п ₀ выражаются через заданные величины р и φ следующим образом:

М₀(р cos φ; р sinφ), п ₀ = (cos φ; sinφ).

19. Вычисление расстояния от точки до прямой линии : .

Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число, причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.

Пример. Найдем расстояние от точки А (7,-3) до прямой, заданной уравнением

3 х + 4 у + 15 = 0. А ² + B ²=9+16=25, C =15>0, поэтому нормирующий множитель равен

-1/5, и нормальное уравнение прямой имеет вид: Подставив в его левую часть вместо х и у координаты точки А, получим, что ее отклонение от прямой равно

Следовательно, расстояние от точки А до данной прямой равно 4,8.

20. Вычисление угла между двумя прямыми : и : .

1. Если прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями

А₁х + В₁у + С₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂ = 0,

то угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами { A₁,B₁ } и { A₂,B₂ }.

Обозначим через φ величину угла между прямыми и (напомним, что угол между прямыми измеряется от 0° до 90°), а через ψ – угол между нормальными векторами и этих прямых. Если ψ ≤ 90°, то φ = ψ. Если же ψ > 90°, тоφ = 180° – ψ. В обоих случаях верно равенство следует, что

и, следовательно,

Записав через координаты, получим

21. Вывод общего уравнения плоскости, если задана точка , принадлежащая этой плоскости, и вектор нормали = , перпендикулярный этой плоскости(M=M0)

Рассмотрим произвольную точку в пространстве и некоторый вектор Очевидно, что геометрическим местом точек таких, что вектор перпендикулярен вектору будет плоскость, проходящая через точку M перпендикулярно прямой, для которой вектор является направляющим. Нашей задачей будет установить уравнение плоскости, то есть найти соотношение, которому удовлетворяют координаты точки A.

Запишем условие перпендикулярности векторов с использованием скалярного произведения:

Запишем последнее равенство в координатах:

Поскольку все наши выкладки были равносильными, то это и есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку. Преобразуем его к виду

Обозначая получим

Это и есть так называемое общее уравнение плоскости.

22. Вывод уравнения плоскости, определяемой тремя точками: , , , не принадлежащими одной прямой.

плоскость может быть задана тремя точками, лишь бы они не лежали на одной прямой, то есть если они не коллинеарны. Получим уравнение плоскости для трех заданных точек. Для этого рассмотрим определение векторного произведения. Результатом векторного произведения двух векторов является вектор , модуль которого равен , и направлен он перпендикулярно плоскости в которой лежат векторы и , причем векторы – образуют правую тройку векторов (см. определение правой системы координат), здесь также угол между векторами и . Для векторов единичного базиса, образующих правую тройку, как следует из определения: , , . Векторное произведение также подчиняется дистрибутивному закону как и скалярное произведение. Однако векторное произведение не коммутативно, а именно, если для векторов , то , что также прямо следует из определения. Координаты векторного произведения легко получить разложив векторы, участвующие в произведении, по базису, а затем раскрыв скобки, подобно тому как это уже было проделано для скалярного произведения. Есть и другой, неформальный, но легче запоминаемый способ получения координат векторного произведения, с помощью разложения следующего определителя по его первой строке. Если и , тогда

Сведем теперь условия в новой постановке задачи нахождения уравнения плоскости к предыдущему случаю, где мы использовали вектор нормали. Пусть заданы фиксированные векторы и , не лежащие на одной прямой, определяющие плоскость, уравнение которой требуется получить (рис. 6).

Рис. 6. Вывод уравнения плоскости проходящей через три точки.

Результат векторного произведения любых двух неколлинеарных векторов, параллельных нашей плоскости, будет вектором перпендикулярным плоскости. И как раз такими являются векторы разности и . Выберем их векторное произведение в качестве вектора нормали, то есть . Тогда, если – произвольный радиус-вектор, принадлежащий плоскости, то искомым уравнением плоскости будет, аналогично формуле (4):

,

причем в последней скобке вместо вектора можно было использовать, например, векторы или . Не будем далее расписывать это уравнение через координаты, так как это не трудно проделать самостоятельно.

23. Уравнение плоскости в отрезках.

Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на -D , заменив , получим уравнение плоскости в отрезках: Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.

24. Общее уравнение (полное) плоскости

где и — постоянные, причём и одновременно не равны нулю; в векторной форме:

где — радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора :

Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

в векторной форме:

где - единичный вектор, — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

(знаки и противоположны).

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

• Отклонение точки от плоскости заданной нормированным уравнением

,если и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае . Расстояние от точки до плоскости равно

25. Расстояние от точки , до плоскости, заданной уравнением , вычисляется по формуле: