Теорема (первая теорема Ляпунова)

1)Пусть существует функция Ляпунова такая, что

(3)

где – скалярная непрерывная неубывающая функция и ,

2) 2. Пусть также

(4)

где – называется производной функции Ляпунова в силу системы.

Если эти условия выполняются, тривиальное решение устойчиво по Ляпунову.

Док-во

Возьмем и любое . В качестве выберем такое число, что

Из непрерывности и условия следует, что такое число найдется.

Условие означает, что функция не возрастает вдоль решений исходного уравнения. Тогда, с учетом неравенств (3), (4) при , получим

В силу монотонности отсюда вытекает, что .

Нахождение функций Ляпунова позволяет исследовать уравнения на устойчивость без их решения.

4й Вариант

Управляемость и наблюдаемость систем управления.

Управляемость. Динамическая система называется вполне управляемой тогда и только тогда, когда для любого начального состояния и любого конечного состояния x(t) существует управляющая траектория такая, что , где H(…) – оператор, описывающий изменение состояния системы. Условия управляемости для линейной системы

которая называется полностью управляемой, если может быть переведена из любого произвольного начального состояния в заданное состояние за конечное время (конечное число шагов). Пусть задано начальное состояние , тогда состояние системы в момент k=m, где m – порядок уравнения, определяется следующим образом:

где R – составная матрица; U – управляющая последовательность. Размерность вектора U равна , а матрицы . Если ранг матрицы R равен m (m – размерность ), то можно получить m уравнений, решением которых будет управляющий сигнал, под воздействием которого объект перейдет из начального в желаемое конечное. Для объекта с одним управляющим входом r=1 (B-вектор) такая последовательность определяется однозначно, то есть единственным решением . Если B – матрица, то существует множество решений. Для системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением в непрерывном времени , свойство управляемости также определяется рангом матрицы . Рассмотрим пример определения управляемости движением материальной точки в непрерывном и дискретном времени. Исходное дифференциальное уравнение имеет вид , где – координата; – скорость движения точки. Уравнение u(t) задает изменение ускорения движения. Матрица R определяется в виде и имеет ранг, равный двум. Это значит, что подобная система управляема.Для описания управления в дискретном времени можно использовать разностное уравнение вида . Аналогично и такая система также управляема, причем достижение любого конечного состояния осуществляется за два шага.

Наблюдаемость. Система называется наблюдаемой, если ее текущее состояние может быть однозначно восстановлено на основании текущей и прошлой информации о некоторых наблюдаемых параметрах , связанных с x(t) оператором известного вида , где v(t) – вектор шумов (помех) при проведении наблюдений. Под наблюдаемостью понимается возможность косвенного определения непосредственно не наблюдаемых состояний объекта управления на основе определения некоторых других величин и использования априорной информации. В зависимости от видов множеств X, Y, оператора h и наличия шумов можно определить большое число вариантов постановок задачи наблюдаемости. Пусть . Этот вариант называется случаем полной мгновенной

наблюдаемости мгновенного наблюдения. Обычно же имеет место ситуация, когда , и n<m, то есть имеет место неполная наблюдаемость. Рассмотрим линейную систему в дискретном времени , где – вектор наблюдаемых параметров; h – матрица размером ; G – матрица размером . Действие управления всегда можно определить и поэтому общность решения не пострадает, если положить . Пусть теперь получены наблюдения . Тогда можно записать следующую систему: . В векторной форме: . Состояние , а значит и текущее состояние , можно определить тогда и только тогда, когда матрица R имеет максимальный ранг, равный m. Общий размер R равен . Если ранг R меньше m, то имеет место неполная наблюдаемость. Если n=1, то R – квадратная матрица размером и можно однозначно определить . Все эти определения могут быть легко обобщены на случай описания системы нелинейными уравнениями в непрерывном или дискретном времени.

5й Вариант

Постановка задачи в детерминированной непрерывной системе.

Задача Больца, Майера, Лагранжа(ракета).

При постановке задачи синтеза оптимального управления предполагается, что известны:

-уравнения, описывающие изменение во времени управляемых и наблюдаемых параметров;

-вероятностные характеристики входящих в эти уравнения случайных процессов и распределения начальных значений параметров;

-реализации полученные в предшествующие моменты времени для каждого t, то есть на интервале .

Требуется построить такое управление как некоторый функционал при котором минимизируется среднее значение функционала потерь (или максимизируется) среднее значение функционала качества, то есть целевого функционала, определяемого соотношением

где – заданные неотрицательно определенные функции.

Если то рассматривается задача синтеза управления в детерминированной системе, для которой минимизируется непосредственно функционал J без проведения операции усреднения.

Часто задачи оптимального управления решаются при дополнительных ограничениях. Эти ограничения определяются заданием замкнутого множества допустимых управлений то есть ограничений вида

Варианты постановки задачи

Задача Больца (смешанное управление: ).

Задача Лагранжа (интегральное управление: ).

Задача Майера (терминальное управление: ).

Задача быстродействия ().

Классической является задача синтеза оптимального управления детерминированной системой при полной обратной связи (вектор x известен) и без ограничений на управление Ее постановка определяется соотношениями

Конкретизируя постановку (4), рассматривают следующие случаи: время начала , начальное состояние и время окончания процесса T фиксировано (задача со свободным правым концом и фиксированным временем);

фиксировано начальное и конечное состояния и не определен момент окончания движения системы; различные смешанные ситуации.

Пример постановки задачи оптимального управления (4). Задача выведения ракеты на заданную круговую орбиту радиусом R.

Движение ракеты описывается системой уравнений

и совокупностью начальных условий вида

где – вектор состояния ракеты; – координаты и скорости ракеты; M – текущая масса ракеты; – вектор управления, – сила тяги, – угол между направлениями тяги и осью ОХ1; – проекции сил сопротивления подъему по координатным осям.

Оптимизация управления может осуществляться двумя способами. Путем минимизации расхода топлива в единицу времени, тогда

Путем максимизации конечной скорости при выведении на орбиту, тогда

6й Вариант

Решение задачи синтеза управления методом вариационного счисления.

Вывод уравнения Лагранжа.

Решение задачи синтеза управления методом вариационного исчисления и вывод уравнения Лагранжа

Вариационное исчисление изучает методы нахождения экстремума

функционалов.

Вариацией функции y(x) есть функция от x вида δy = Y(x) − y(x),определяемая как разность новой функции Y(x) и y(x). Не следует вариацию, вызывающую изменения функционального соотношения между y и x, смешивать с приращением Δy функции y(x), вызванным приращением переменной x.

Пусть дана функция F(y1(x),..., yn (x),x). Если она имеет непрерывные частные производные второго порядка, то ее приращение, вызванное вариациями δy1,...,δyn, определяется как

В приведенном выражении (формуле Тейлора) первый и второй член – есть первая δF и вторая δ2F вариации функции F. В дальнейшем будем использовать следующие обозначения. Для скалярной функции ϕ(x) векторного аргумента T x = (x1,..., xm)т

Для вектор-функции f (x) векторного аргумента

Решение поставленной задачи нахождения минимума функционала J осуществляется по следующей схеме.

1. Образуется вспомогательный функционал

Необходимость введения вспомогательного функционала определяется необходимостью учета характера движения объекта в соответствии с

уравнением

1. Вводится скалярная функция, называемая гамильтонианом

Интегрируя по частям последнее слагаемое в правой части (5), выражение для вспомогательного функционала J* представляется в виде

3.Находится вариация вспомогательного функционала J*, соответствующая вариациям управления u(t) с учетом возникающих при этом вариаций x(t)

4.Для того, чтобы исключить влияние вариаций δx(t), вызванных вариациями по управлению δu(t), на вариации функционала δJ*, выбираются множители ψ(t) таким образом, чтобы коэффициенты при δx(t),

δx(T) обратились в 0