Краткая теория. Вынужденными на­зывают такие колебания, которые вызываются действием на систему внешних сил, периодически изменяющихся с тече­нием времени

Вынужденными на­зывают такие колебания, которые вызываются действием на систему внешних сил, периодически изменяющихся с тече­нием времени. Рассмотрим вынужденные электрические колебания в последовательном RLC – колебательном контуре (рис.1). Вынужденные колебания в данной схеме можно осуществить, разорвав контур и подав на образовавшиеся кон­такты переменное напряжение

,

где – максимальная амплитуда колебаний напряжения, – цикличе­ская (круговая) частота переменного напряжения, подведенного к контуру.

Рис. 1. RLC – колебательный контур.

Закон Ома для такой цепи имеет вид

(1)

где – напряжение на электриче­ском сопротивлении, – напряжение на конденсаторе и – э.д.с. самоиндукции, L – индуктивность катушки, C – ёмкость конденсатора. С учетом того, что получим уравнение

. (2)

где – частота собственных колебаний контура, – коэф­фициент затухания. Формула (2) есть дифференциальное уравнение выну­жденных колебаний, которая совпадает с дифференциальным уравнением вынужденных механических колебаний. Частное решение этого уравнения:

(3)

где – частота затухающих колебаний, – начальная фаза колебаний, определяющаяся соотношением:

, ( 4)

– амплитуда колебаний заряда и она равна:

. ( 5)

Продифференцировав уравнение (3) по времени, определим силу тока в последовательном контуре при установившихся колебаниях:

, (6)

где – сдвиг по фазе между током и приложенным напряже­нием, – максимальная амплитуда колебания силы тока, равная

. (7)

Величина

(8)

называется полным сопротивлением электрической цепи. Установив­шиеся вынужденные колебания можно рассматривать как протекание в цепи, обладающей емкостью, индуктивностью и активным сопротивле­нием переменного тока. Полное сопротивление состоит из активного (омического) сопротивления R, индуктивного сопротивления и емкост­ного сопротивления . Тогда выражение (1) можно представить в виде

. (9)

Следовательно, сумма напряжения на от­дельных элементах контура равна в каждый момент времени напряжению, приложенному извне.

В соответствии с выражением (6) напряжение на активном сопротивлении равно

(10)

Напряжение на конденса­торе получим, разделив выражение (3) на ёмкость конденсатора C:

(11)

Напря­жение на индуктивности получим, умножив производную функцию (6) на индуктивность L:

. (12)

Сопоставление (6), (10 – 12) показывает, что напряжение на емкости от­стает по фазе от силы тока на π/2, а напряжение на индуктивности опере­жает ток на π/2. Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током (синфазно).

Для электрических колебаний, как и в случае механических, существует резонанс. Резонансом в электрической цепи называется резкое возрастание амплитуды силы тока или напряжения в колебательном контуре при условии, что частота вынуждающей силы ω стремится к резонансной частоте ω_рез.

При последовательном соединении L и C (последовательный контур) наблюдается резонанс напряжений. В случае резонанса напряжений падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряжению, приложенному к цепи, а падения напряжений на конденсаторе (U_С) и катушки индуктивности (U_L) одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе.

Резонансная частота для напряжения на конденсаторе U_C (и заряда q) равна

. (13)

Графики зависимости напряжения U_С от частоты для различных значений активного сопротивления R приведены на рис. 2 (для заряда q имеют такой же вид). При , резонансные кривые сходятся в одной точке с ординатой U_Сm=Um. Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность контура. R1<R2<R3

Рис. 2. Резонансные кривые для напряжения

В электрических контурах принято запасенную энергию считать сосредото­ченной в чисто реактивных элементах индуктивности L и ёмкости C, а по­тери связывать с протеканием тока через сопротивление R, тогда величина, характеризующая резонансные свойства колебательного контура определяется выражением:

, (14)

где – амплитуда напряжения на конденсаторе при резонансе, – амплитуда внешнего напряжения, и называется добротностью колебательного контура. Из (14) следует, что добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превысить приложенное напряжение к колебательному контуру. В этом случае резонансные кривые для добротности будут аналогичны резонансным кривым для напряжения (рис. 1).

Кроме резонанса напряжений наблюдается так же резонанс токов, заключающийсяв резком уменьшении амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно соединенные индуктивное и емкостное со­противление (параллельный колебательный контур). Как следует из (7), амплитуда тока достигает максимального значения при

, (15)

независимо от величины R. Откуда резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура :

(16)

Исследования показали, что чем меньше активное сопротивление, тем выше максимум резонансной кривой ().