Епюри поперечних сил і згинальних моментів

Поперечна сила і згинальний момент, будучи функціями від абсциси х, змінюються по довжині балки. Для визначення найбільш небезпечних перерізів балки зміну поперечної сили і згинального моменту по довжині балки зручно зображувати графічно. Такі графіки мають назву епюр поперечних сил і згинальних моментів. Розглянемо на прикладі порядок побудови епюр для балки.

Побудуємо епюри поперечних сил і згинальних моментів для балки, показаної на рисунку 8.6, а.

Спочатку визначимо реакції опор R_A i R_K.

кН,

кН.

Перевірка:

.

Отже, реакції розраховано правильно.

Побудуємо епюри Q_y i M_z для ділянки АВ. Для цього зробимо переріз m ₁- n ₁ на відстані х від опори А і розглянемо рівновагу відсіченої частини (рисунок 8.6, г). Згинальний момент M_z і поперечну силу Q_y в перерізі будемо зображати додатними, хоч це не обов’язково.

Ділянка АВ

0 £ x ₁ £ 1 м

Q_y = R_A =1 кН (8.6)

M_z = R_Ax ₁- M ₁ (8.7)

при x ₁=0 м M_z =-4 кН×м,

при x ₁=1 м M_z =-3 кН×м.

Рисунок 8.6

Як видно із (8.6) і (8.7) поперечна сила залишається сталою на всій довжині ділянки АВ а згинальний момент змінюється за лінійним законом. Графіки цих залежностей показані на рисунку 8.6, б і рисунку 8.6, в. Додатні значення сили Q_y будемо відкладати вгору від базової прямої, а від’ємні - вниз. Епюри згинальних моментів домовимося будувати на стиснутих волокнах. Тому вгору від базової лінії будемо відкладати в масштабі додатні значення згинального моменту, а вниз - від’ємні.

Побудуємо епюри М_z i Q_y для ділянки ВС. Для цього зробимо переріз

m ₂- n ₂ і розглянемо рівновагу лівої відрізаної частини балки (рис. 8.6, д)

Ділянка ВС

0 £ x ₂ £ 1 м

Q_y = R_A - P ₁=1-1=0 кН (8.8)

M_z = R_A( 1 +x ₂)- P ₁ x ₂ - M ₁ (8.9)

при x ₂=0 м M_z =-3 кН×м,

при x ₂=1 м M_z =-3 кН×м.

Будуємо графіки функцій (8.8) і (8.9) на ділянці ВС (риc. 8.6, б, в).

Із умов рівноваги лівої відсіченої частини балки знаходимо закони, за якими змінюються Q_y i M_z на ділянці CD.

Ділянка CD

0 £ x ₃ £ 1 м

Q_y = R_A - P ₁+ P ₂- qx ₃ (8.10)

при x ₃=0 м Q_y =3 кН,

при x ₃=1 м Q_y =1 кН,

(8.11)

при x ₃=0 м M_z =-3 кН×м,

при x ₃=1 м M_z =-1,75 кН×м.

Для побудови епюр Q_y i M_z на ділянці DK розглянемо рівновагу правої відрізаної частини балки (переріз m ₃- n ₃, рисунок 8.6, е)

Ділянка DK

0 £ x ₄ £ 2 м

Q_y = qx ₄- R_K (8.12)

при x ₄=0 м Q_y =-3 кН,

при x ₄=2 м Q_y =1 кН,

(8.13)

при x ₄=0 м M_z =0 кН×м,

при x ₄=2 м M_z =2 кН×м.

Із (8.4) випливає, що при Q_y =0 момент M_z приймає екстремальне зна

чення. Значення х ₁, при якому Q_y =0, знайдемо з рівняння (8.12)

м

Визначимо величину згинального моменту за формулою (8.13),при х ₄=1,5 м

M_z =2,25 кН×м

Будуємо епюри Q_y i M_z на ділянці DK (рис. 8.6, б, в).

Як видно із рисунків 8.6, б, в на ділянках, де немає розподіленого навантаження (q =0), поперечна сила Q_y залишається сталою, а момент M_z змінюється за лінійним законом (ділянка АВ). На ділянці ВС Q_y =0, а M_z =const. На ділянці з рівномірно розподіленим навантаженням (q =const), епюра Q_y - лінійна, а згинальний момент M_z змінюється за законом квадратичної параболи (ділянка CD).

В перерізах, де прикладені зосереджені сили, на епюрі Q_y мають місце стрибки на величину і в напрямках цих сил, а на епюрі M_z - злами.

В перерізах, де прикладені зосереджені моменти, на епюрі Q_y ніяких змін немає, а на епюрі M_z мають місце стрибки на величину цих моментів.

На ділянках, де Q_y =0, момент M_z сталий, а в перерізах, де Q_y =0, згинальний момент набуває екстремального значення. Практично всі наведені властивості епюр Q_y i M_z випливають із залежностей (8.3) і (8.4).