Вещественный тип

Вещественное число (число с плавающей запятой) состоит из двух частей: мантиссы и порядка. Например, число в десятичной системе счисления 0,000123 можно записать одним из следующих способов: 0.0000123*10; 0,123*10^-3; 1,23*10^-4 и т.д. Аналогично 78900=0,789*10⁵=7,89*10⁴=78,9*10³ и т.д. Термин “число с плавающей запятой” и связан с тем, что десятичная запятая в различных записях числа перемещается (плывёт) по числу. Нас будет интересовать нормализованное число (соответственно 0,123*10^-3 и 0,789*10⁵ ), в котором в левом числе после запятой значащая цифра, а не нуль. Первая его часть называется мантиссой (0,123 и 0,789), а числа - 3 и 5 – порядком.

Аналогично различные варианты записи на бумаге, а не в памяти компьютера вещественного числа имеют место и в двоичной системе счисления.

Пример 22. Рассмотрим десятичное число 12,375. Для его перевода в двоичную систему счисления отдельно переводим целую часть аналогично как было показано в первом параграфе и отдельно дробную часть. В качестве вспомогательной системы счисления можно использовать шестнадцатеричную. Для перевода дробной части из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную выполняем следующее:

дробную часть числа умножаем на 16;

полученную целую часть результата (число от 0 до 15) переводим в шестнадцатеричную систему счисления и берём в качестве первой после запятой 16-й цифры результата;

дробную часть результата, если она не равна нулю, повторно умножаем на число 16;

полученную целую часть переводим в шестнадцатеричную систему счисления и берём в качестве следующей шестнадцатеричной цифры;

дробную часть результата снова умножаем на 16.

Этот процесс продолжаем, пока не наступит одна из следующих ситуаций:

a) на некотором шаге, не обязательно в самом начале, получим в дробной части нуль. В этом случае перевод выполнили точно. Это имеет место в нашем примере: 0,375*16=6.0;

b) получим в дробной части число, которое было раньше. Например, 0,15*16=2,4; 0,4*16=6,4. Если продолжать умножение 0,4*16, будем получать одно и то же, т. е 6,4. В таком случае получаем следующий результат: 0,15₁₀= 0,2666…₁₆=0,2(6)₁₆. Круглые скобки означают, что записанное в них одно или несколько разных чисел будут повторяться бесконечное число раз. Говорят, что это число в периоде, т.е. 6 в периоде;

с) если не получаем ни нуль, ни повторяющиеся числа, то ограничиваемся заданным предварительно количеством двоичных или шестнадцатеричных цифр. Для числа типа float необходимо получить 24 двоичные цифры, считая от первой значащей, или не менее семи шестнадцатеричных цифр, не считая первые нули. Немного позже в этом же параграфе будет понятно, почему такое количество цифр надо получать.

Для перевода дробной части из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную записываем каждую шестнадцатеричную (но не десятичную!) цифру в виде тетрады, т.е. четырёх двоичных цифр. Получим 12.375₁₀=С.6₁₆=1100,0110=1100,011. При этом последнюю цифру ‘0’ можем не писать. Как и в десятичной системе счисления, этот нуль незначащий. Остальные нули рядом с запятой как слева, так и справа, обязательны! Это двоичное число, как и в десятичной системе счисления, записать можно по-разному: 11,00011*2²; 1100011*2^-3; 1.100011*2³ и т. д. Из приведенных вариантов нас будет интересовать последняя нормализованная запись, в которой в целой части записана одна первая значащая единица. Получим: m=0.100011; p=3₁₀=11₂, где m — мантисса, p — порядок в двоичной системе счисления.

Пусть переменная объявлена как float. Тогда 4 байта или 32 бита распределяются так.

Один самый “левый” бит отводится под знак мантиссы, или, что то же самое, под знак всего числа. Записывается 0, если мантисса, а, значит и само вещественное число, положительное, и 1 в противном случае. Никакого дополнительного кода для отрицательного вещественного числа, как это было для целых чисел, получать не надо.

Следующие 8 разрядов (бит) занимает изменённый порядок записи числа в двоичной системе счисления, который называется характеристикой числа (обозначим её x). Что это такое? Знак порядка нигде не хранится. Чтобы он всегда был неотрицательным, порядок увеличивается на 127₁₀, т. е. x=p+127₁₀=p+7F₁₆. (1) Для нашего примера здесь будет храниться число x=3₁₀+127₁₀= 130₁₀=82₁₆=10000010₂.

Это же можно вычислить и так: x=3₁₆+7F₁₆=82₁₆ =10000010₂;

Последние 32-1-8=23 разряда занимает мантисса. При этом старшая её цифра, равная 1, в памяти не хранится, но учитывается при вычислениях. Если дробная часть числа переведена в шестнадцатеричную, а, значит и в двоичную системы счисления не точно, т. е. имели место два последних варианта (см. выше перевод), последняя двоичная цифра округляется по обычным правилам. Если первая отбрасываемая двоичная цифра равна 1, то прибавляем двоичную единицу, в противном случае оставляем без изменения.

Таким образом, число 12,375 в формате float будет представлено следующим образом: 01000001010001100000000000000000. В литературе можно встретить шестнадцатеричную запись результата: 41460000₁₆.

Пример 23. Представить число -0.01 как число с плавающей точкой в формате float.

Переводим дробную часть модуля числа в двоичную систему счисления: 0.01=0.028F5С28F5C…₁₆=0.0(28F5С)₁₆=

0.0000001010001111010111000010100…₂. Так как под мантиссу отводится 23 разряда, то должны получить 25 двоичных цифр, не считая первых после десятичной точки подряд идущих нулей. Почему? По правилу нормализации самая первая значащая единица (в примере в десятичной цифре 2) в память не записывается, а ещё одна дополнительная двоичная цифра нужна для того, чтобы определить, как округлять число. Так как первая отбрасываемая двоичная цифра = 0, то получаем

m=0.01000111101011100001010₂. Если число “маленькое”, т.е. целая часть = 0, а в дробной части после запятой несколько подряд идущих нулей, то получим отрицательный порядок. Так как 0.000000101000111101011100001010₂= 1.01000111101011100001010*2^-7,

то p=-7₁₀=-7₁₆, x= p+7F₁₆=7F₁₆-7₁₆=78₁₆=01111000₂. В результате получим ответ: 10111100001000111101011100001010.

Пример 24. Рассмотрим обратную задачу. Пусть в ячейке размером 4 байта хранится следующая последовательность нулей и единиц, шестнадцатеричное представление которой такое: С215999A₁₆. Известно, что здесь хранится вещественное число, т.е. в программе записано объявление: float a. Что это за число в 10-й системе счисления?

Для ответа на этот вопрос в обратном порядке выполняем действия, описанные выше.

1) Запишем двоичное представление содержимого ячейки: 11000010000101011001100110011010.

2) Единица в старшем бите (самая “левая”) означает, что всё вещественное число отрицательное.

3) В следующих 8 битах находится характеристика числа, т.е. x=10000100₂=84₁₆. Из формулы (1) получаем двоичный порядок числа:

p=x-7F₁₆=84₁₆-7F₁₆ =5₁₆=5₁₀.

4) Из последних 23 разрядов получаем

m=0.00101011001100110011010₂.

5) Поэтому искомое число a=1.00101011001100110011010*2⁵=

100101.011001100110011010₂@25.(6) ₁₆@37.4₁₀.

Перевод дробной части из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления выполняли следующим образом: 0.(6) ₁₆ = 0.66666₁₆ = 6*16^-1+6*16^-2+6*16^-3+6*16^-4+6*16^-5@0.4₁₀.

Т.к. в самом “левом” бите была единица, то получаем ответ: - 37.4₁₀.