Математические ожидания сигналов на выходе стационарных САР

Дана САР, к которой приложены в разных точках полезное X(t) и возмущающее Y(t) воздействия (полученные здесь результаты легко распространяются на любое количество входных сигналов). САР описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, поэтому будем считать заданными передаточные функции САР по полезному сигналу X(t)

, (1)

где Z(P) и X(P) изображения по Лапласу выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях;

и возмущающему воздействию Y(t)

. (2)

В силу однозначной связи между передаточными и весовыми функциями системы тем самым заданы и эти весовые функции:

где L^-1 – символ обратного преобразования Лапласа,

- весовая функция САР по выходному полезному сигналу,

- весовая функция САР по возмущающему воздействию.

Сигналы ; (здесь и - случайные составляющие сигналов, а и - неслучайные составляющие, т.е. математические ожидания этих процессов) считаем стационарными случайными процессами. Для нашей задачи существенно то, что математические ожидания процессов X(t) и Y(t) известны и постоянны, т.е. задано, что , .

Необходимо найти математическое ожидание выходного сигнала (поскольку неизвестно, какой будет выходной процесс - стационарный и нестационарный, мы вынуждены пока считать его нестационарным и, значит, его математическое ожидание зависящим от времени, а не постоянным).

Поскольку САР линейна, то к ней применим принцип суперпозиции, т.е. ее выходной сигнал будет складываться из частей, обусловленных полезным X(t) и возмущающим Y(t) сигналами, т.е. , где

- доля в математическом ожидании выходного сигнала, обусловленная сигналом X(t),

- доля в математическом ожидании выходного сигнала, обусловленная сигналом Y(t).

Эти доли при известных , , , находятся с помощью интегралов Дюамеля

; (3)

. (4)

Из курса ТАУ известно, что

.

где L – символ прямого преобразования Лапласа.

Если в этих двух последних формулах положить p=0, то получится с учетом (1) и (2)

.

и, следовательно, исключая из (3) и (4) получается

, , т.е.

Итак, математическое ожидание установившегося выходного процесса в стационарной линейной системе при стационарных входных и возмущающих воздействиях постоянно.