Алгебраический аналог критерия устойчивости Гурвица для ИСАР

Как и линейная непрерывная система ИСАР устойчива, если свободная составляющая ее решения с течением времени затухает. Это происходит в том случае, если корни характеристического уравнения ИСАР

(1)

левые (здесь p – переменная преобразования Лапласа). Часто характеристическое уравнение ИСАР путем замены преобразуется к виду

(2)

Нахождение корней характеристического уравнения (1) или (2) высокого порядка затруднительно, поэтому используют критерии оптимальности, позволяющие оценить устойчивость системы по коэффициентам характеристического уравнения или частотным характеристикам, не находя корней. Все критерии оптимальности для линейных непрерывных систем базируются на том факте, что корни характеристического уравнения для устойчивой системы расположены в левой полуплоскости комплексного параметра p. Однако известно, что для нелинейных ИСАР эти корни располагаются в левой полуполосе шириной (ω_и – частота квантования), если характеристическое уравнение ИСАР представлено в форме (1), или внутри окружности единичного радиуса в случае (2). И, следовательно, исследование критериев они используются для линейных непрерывных систем, для ИСАР невозможно.

Чтобы для ИСАР применить критерии оптимальности (например, критерий Гурвица), надо в уравнениях (1) или (2) заменой переменной преобразовать полуполосу или окружность единичного радиуса в полуплоскость. Это достается, например, для уравнения (2), заменой . (3)

В плоскости переменной ω окружность единичного радиуса в плоскости Z преобразовалась в левую полуплоскость. Умножим обе области характеристического уравнения (3) на (1-ω)ⁿ и получим .

Раскрыв здесь скобки и приведя подобные, получим характеристическое уравнение ИСАР в плоскости ω: .

Вот к этому характеристическому уравнению можно применять критерии оптимальности в виде, в каком они применяются для непрерывных систем. Например, из коэффициентов А₀, А₁, …А_n и составляется определитель n-го порядка, и для устойчивости ИСАР требуется, чтобы все главные диагональные миноры определителя Гурвица были одного знака со знаком коэффициента А₀ при старшем члене.

6.5.1. Критерий Гурвица

Существует несколько алгоритмов, позволяющих проверить устойчивость полинома

∆(s) = a₀sn + a₁ s^{n -1} +... + a_n-1s + a_n, не вычисляя его корни. Прежде всего, для устойчивости все коэффициенты a_i (i = 0,...,n) долж­ны быть одного знака, обычно считают, что они положительные. Это необходимое условие ус­тойчивости полинома. Однако при n > 2 это условие недостаточно, если полином имеет ком­плексно-сопряженные корни. Поэтому были разработаны необходимые и достаточные условия (критерии) устойчивости полиномов.

Один из самых известных критериев - критерий Гурвица - использует матрицу H_n раз­мером n×n, составленную из коэффициентов полинома ∆(s) следующим образом:

• первая строка содержит коэффициенты a ₁,a₃,a₅,... (все с нечетными номерами), остав­шиеся элементы заполняются нулями;

• вторая строка содержит коэффициенты a₀,a₂,a₄,... (все с четными номерами);

• третья и четвертая строка получаются сдвигом первой и второй строк на 1 позицию впра­во, и т.д.

Например, для полинома пятого порядка (n = 5) эта матрица имеет вид

	a1	a3	a5
	a0	a2	a4
H5=		a1	a3	a5
		a0	a2	a4
			a1	a3	a5

(a0>0)

Критерий Гурвица. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы n-1 главных определителей матрицы H_n были положительными.