Введение в анализ функций одной переменной

Лекция № 14. Тема 1: Функции

1.1. Определение функции

При изучении определённых процессов реального мира мы встречаемся с характеризующими их величинами, которые меняются во время изучения этих процессов. При этом изменение одной величины сопутствует изменению другой. Например, при прямолинейном равно-мерном движении связь между пройденным путём s, скоростью v и вре-менем t выражается формулой . При заданной скорости v вели-чина пути s зависит от времени t.

В этом случае изменение одной величины (t) произвольно, а другая (s) зависит от первой. Тогда говорят, что задана функциональная зависимость. Дадим математическое обоснование этому понятию.

Пусть заданы два множества X и Y.

Определение. Функцией называется закон или правило, согласно ко-торому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент , при этом пишут

или .

Элемент называется аргументом функции f, а элемент значением функции. Множество X, при котором функция опреде-лена, называется областью определения функции, а множество Y - областью изменения функции. Эти множества соответственно обозначаются и .

Примеры функций:

1. Скорость свободного падения тела . Здесь X и Y - множества действительных неотрицательных чисел.

2. Площадь круга . Здесь X и Y - множества положитель-ных действительных чисел.

3. Пусть X - множество студентов группы, т.е. , а - множество оценок на экзамене. Здесь в качестве функции f рассматривается критерий оценки знаний.

В дальнейшем под множествами X и Y будем подразумевать множества чисел и придерживаться обозначения . Для большей наглядности будем использовать геометрическое представление множеств и в виде множества точек на действительной оси. Рассмотрим некоторые наиболее употребительные числовые множества (промежутки):

- отрезок;

- интервал;

- числовая ось (множество действительных чисел);

или - e -окрестность точки a.

а х

Замечание 1. Мы рассмотрели определение однозначной функции. Если же каждому соответствует по некоторому правилу определённое множество чисел y, то таким правилом определена многозначная функция . Например, .

Примеры. Найти области определения и значений функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

1.2. Способы задания функции

1. Аналитический способ. Прежде всего, функции могут задаваться при помощи формул. Для этого используются уже изученные и специально обозначенные функции и алгебраические действия.

Примеры:

1. . 2. . 3. .

В дальнейшем будем использовать краткие математические обозначения (кванторы): - для всех, любых; - существует, можно указать.

Напомним некоторые элементы поведения функций. Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если из этого промежутка выполняется неравенство или и пишут или соответственно. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными. Функция называется ограниченной на некотором промежутке, если выполняется условие . В противном случае функция называется неограниченной.

Функция называется четной (нечетной), если она обладает свойством . Остальные функции называются функциями общего вида.

Функция называется периодической с периодом Т, если выполня-ется условие .

Например, функция является возрастающей и убывающей . Функция является монотонной . Функция ограничена для , так как . Функции: являются четными, а функции - нечетными. Функция - периодическая с периодом .

Функция может быть задана и уравнением вида

(1)

Если существует такая функция , что , то уравнение (1) определяет функцию заданную неявно. Например, в приме-ре 2 функция задана неявно, это уравнение определяет много-значную функцию .

Пусть , а , тогда функция называется сложной функцией или суперпозицией двух функций F и f. Например, в примере 3 функция является суперпозицией двух функций и .

Если в качестве аргумента рассмотреть переменную у, а в качестве функции – переменную х, то получим функцию, которая называется для однозначной функции обратной и обозначается . Например, для функции обратной функцией служит или , если придерживаться общепринятых обозначений аргумента и функции.

Замечание 2. Функция может быть задана и с помощью описания соответствия (описательный способ). Например, поставим в соответствие каждому числу число 1, а каждому число 0. В результате получим единичную функцию

Следует отметить, что всякая формула является символической записью некоторого описанного соответствия и поэтому различие между заданием функции с помощью формул и описания соответствия чисто внешнее.

Графическое изображение функции также может служить для задания функциональной зависимости.

2. Графический способ. Функция задаётся в виде графика. Примером графического задания функции может служить показания осциллографа.

у

d

a b

O x

c

Функцию можно задавать с помощью таблиц:

3. Табличный способ. Для некоторых значений переменной x указываются соответствующие значения переменной y. Примерами такого способа заданий являются таблицы значений тригонометрических функ-ций, таблицы, представляющие собой зависимость между измеряемыми величинами и др.

х	х 1	х 2	x 3	…	xn
у	у 1	у 2	у 3	…	уn

Для работы на ЭВМ функцию задают алгоритмическим способом.

1.3. Элементарные функции

К основным или простейшим элементарным функциям относятся:

1. Степенная где .

2. Показательная .

3. Логарифмическая .

4. Тригонометрические: .

5. Обратные тригонометрические: .

В качестве повторения постройте графики этих функций.

Применяя к этим функциям арифметические действия и операцию суперпозиции конечное число раз, будем получать новые более сложные функции, которые называются элементарными.

Например, .

Иногда полезно использовать так называемые гиперболические функ-ции, которые также относятся к элементарным:

.

Легко непосредственно проверить следующие их свойства:

.

Можно заметить, что эти свойства напоминают свойства тригоно-метрических функций, поэтому они соответственно и называются гипер-болическими синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом.

Остальные функции относятся к так называемым неэлементарным. Примеры неэлементарных функций:

- функция Дирихле;

- целая часть числа, где x - наибольшее целое число, не превосхо-дящее x, например,

Лекция № 15. Тема 2: Пределы

2.1. Предел последовательности и переменной величины

Определение 1. Значения функции натурального аргумента , где называются последовательностью, которая обозначается

.

Примеры последовательностей:

1. .

2. . 3. .

Определение 2. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M (m), что любой член x_n этой последовательности удовлетворяет неравенству . Если последовательность ограничена сверху и снизу, то она называется ограниченной.

Например, последовательность 1 является возрастающей и ограничен-ной, последовательность 2 возрастающая и ограничена снизу, а после-довательность 3 ограничена.

Определение 3. Число а называется пределом последовательности или пределом переменной величины x_n, если , что и пишут

или .

Дадим геометрическое представление предела - так как что выглядит следующим образом

( )

а х

Таким образом, если а предел последовательности , то , что все ее члены, начиная с некоторого попадут в эту окрестность.

Пример 1. Покажем, что предел первой последовательности равен 1, т.е. .

Зададим произвольное и составим неравенство , т.е. . Тогда номер члена, начиная с которого все члены последовательности попали в окрестность , определится из условия . Например, если , то, начиная с номера , все члены последовательности удовлетворяют неравенству или попали в окрестность .

Определение 4. Переменная x_n называется бесконечно большой при , если , что и при этом пишут

или , если и

или , если .

Пример 2. Покажем, что для второй последовательности .

Зададим и составим неравенство . Тогда неравенство выполняется , где .

Особое внимание следует уделить замечанию:

Замечание 1. Концептуально такие же определения и свойства имеют место и для любой переменной величины х. Например, число а называ-ется пределом переменной величины х, если , что и пишут или , т.е. последовательность пред-ставляет собой переменную величину, значения которой пронумерованы.

Из определения предела переменной следуют её свойства:

1. Если переменная имеет предел, то он единственный.

2. Предел постоянной равен этой постоянной.

3. Если переменная имеет предел, то она ограничена.

4. Не всякая переменная имеет предел (см. последовательность 3 и задайте ).

5. Монотонная ограниченная переменная имеет предел.

2.2. Предел функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности , за исключением, быть может, самой точки .

Определение 5. Число А называется пределом функции в точке , если , что и при этом пишут . у

Геометрически это представля-

ется следующим образом: ,

что . А

Упрощенно это определение

можно представить так:

Число А называется пределом х

функции при х, стремящимся а

к числу а, если точка приближается к числу А, когда точка х приближается к а.

Пример 3. Покажем, что для функции .

Зададим произвольное и определим . Запишем неравенство

.

Существенным понятием, особенно при нахождении пределов функ-ции, являются односторонние пределы.

Определение 6. Число А называется правым (левым) пределом функ-ции в точке , если , что и при этом пишут

.

Односторонние пределы можно также обозначать и .

Связь между односторонними пределами и пределом функции уста-навливает следующая

Теорема. Если функция в точке имеет предел , то . Верно и обратное.

Из таких же соображений определяется и предел функции при .

Определение 7. Число А называется пределом функции при , если , что выполняется неравенство и при этом пишут у

, если и

, если . А

Геометрически это выглядит

следующим образом: О М х

что будет .

Пример 4. Покажем, что для функции .

Зададим и определим число М. Запишем неравенство

.

Замечание 2. Иногда удобно использовать другое, эквивалентное, опре-деление предела функции:

Число А называется пределом функции в точке , если .

Лекция № 16

2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Определение 1. Функция называется бесконечно малой величиной (б.м.в.) при , если .

Напомним это определение: , что

.

Определение 2. Функция называется бесконечно большой величиной (б.б.в.) при , если , что и при этом пишут .

Пример 1. Покажем, что для функции

Зададим произвольное . Получим неравенство

т.е. в этой окрестности точки значения функции по модулю будут больше заданного числа М.

Замечание 1. При определении б.м.в. и б.б.в. следует обратить внимание на фразу “при “, так, например, функция является б.м.в. при и б.б.в. при , что видно, в частности, из графика этой функции.

Замечание 2. Все б.б.в. являются неограниченными функциями. Обрат-ное, вообще говоря, неверно, что видно из следующего примера.

Пример 2. Очевидно, функция является неограниченной при , но она не является б.б.в. Например, для последовательности ,

Замечание 3. Б.м.в. принято обозначать:

Б.м.в. и б.б.в. обладают следующими свойствами:

1. Сумма конечного числа б.м.в. есть б.м.в..

Не нарушая общности, рассмотрим случай двух б.м.в. Зададим для суммы e. Тогда в силу определения б.м.в. одновременно выполняется

и , т.е. сумма - б.м.в.

2. Произведение ограниченной функции на б.м.в. есть б.м.в.

Доказывается аналогично с учетом, что , где .

3. Если - б.м.в. при , то - б.б.в. при . Верно и обратное.

Пусть - б.м.в. Это означает, что . Тогда , т.е. - б.б.в. Аналогично доказывается и обратное утверждение.

2.4. Теорема о пределе функции

Эта теорема является важной, так как используется при доказатель-стве многих теорем и утверждений.

Теорема. Если функция имеет предел при , то в некоторой окрестности она представляется в виде суммы , где А - её предел, а - б.м.в. при . Верно и обратное.

Пусть , т.е. - б.м.в. или .

Обратно. Пусть . Тогда , т.е. .

Замечание 4. Теорема остаётся справедливой и для случая . Тогда вместо фразы “в некоторой окрестности “ следует читать “при достаточно больших х “.

2.5. Основные теоремы о пределах

Предположим, что существуют пределы соответствующих функций. Тогда справедливы теоремы:

Теорема 1. Предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций, т.е.

.

Теорема 2. Предел произведения конечного числа функций равен про-изведению пределов этих функций, т.е.

.

Следствия:

1. Если .

2. .

Теорема 3. Если , то .

Пусть и Тогда по теореме о пределе функции имеем , , где и - б.м.в. при .

Напишем тождество

Поскольку является б.м.в. по свойствам б.м.в., то тогда и по теореме о пределе функции получаем

, ч. т. д.

Утверждение следующей теоремы практически очевидно, а её дока-зательство следует из определения предела функции.

Теорема 4. Если в некоторой окрестности выполняется и , то .

Замечание 5. Доказательства теорем 1–2 аналогичны доказательству теоремы 3.

Покажем, как с помощью этих теорем вычисляются некоторые пределы.

Пример 3. Найти .

Так как , то имеем

2.6. Раскрытие неопределённостей

Рассмотрим пример: найти предел .

Здесь и .

Этот случай классифицируется как неопределённость вида . Известны также неопределённости следующих видов: и, если 1 является пределом некоторой функции, то .

Чтобы раскрыть эти неопределённости, т.е. найти соответствующие пределы, необходимо выполнить соответствующие тождественные преобра-зования функции под знаком предела, которые зависят от вида неопре-делённости и самой функции. Рассмотрим это на конкретных примерах.

Пример 4. .

Пример 5. .

Пример 6.

Пример 7.

Лекция № 17

2.7. Первый стандартный предел

Теорема. . (1)

Выражение под знаком предела является неопределённостью вида . Раскроем данную неопределённость, C

исходя из геометрических соображений. A

Построим окружность с центром в R

точке и радиусом R. Выберем

угол х в первой координатной четверти х

и сравним площади трех фигур: D AOB, О D B

сектор AOB и D СOВ.

Из рисунка видно, что площади

указанных фигур связаны соотношением:

.

Вычислим эти площади:

откуда имеем .

С учётом того, что , разделим обе части неравенства на и получим

или .

Так как , то на основании теоремы 4 (п.2.5) имеем требуемое равенство (1).

Замечание 1. Правомерность предельного перехода под знаком косинуса будет показана в следующей лекции.

Пример 1.

Пример 2.

2.8. Число е.

Рассмотрим последовательность . Покажем, что данная последовательность имеет предел.

Воспользуемся формулой бинома Ньютона, полагая .

Из этой формулы следует, что , так как все слагаемые суммы положительные. Покажем, что эта последовательность ограничена.

Таким образом, для получаем неравенство . Итак, последовательность возрастает и ограничена сверху, отсюда, по свойству 5 последовательностей (п. 2.1), она имеет предел

где е - иррациональное число .

2.9. Второй стандартный предел

Теорема. . (2)

Если , то формула (2) уже доказана. Если , то его значение заключено между двумя положительными целыми числами

. (3)

Тогда будет выполняться

.

С учетом условия (3), получаем

. (4)

Если и тогда

Аналогично

Переходя в формуле (4) к пределу при , и учитывая теорему 4 (п.2.5), получаем второй стандартный предел (2).

Замечание 2. Если , тогда, с учётом новой переменной , получим

Таким образом, .

Схематично график функции изображен на рисунке.

у

е

-1 0 х

Замечание 3. Если ввести новую переменную при , тогда

Пример 3. .

Пример 4. .

Пример 5.

.

2.10. Сравнение б.м.в.

Пусть и - б.м.в. при .

Определение 1. Если , то называется б.м.в. более высокого порядка, чем при и пишут .

Пример 6. Пусть , тогда при получаем

.

Определение 2. Если , то и называются б.м.в. одного порядка.

Пример 7. Пусть , тогда при получаем

и - б.м.в. одного порядка.

Определение 3. Если , то и называются экви-валентными б.м.в. и обозначаются при .

Из ранее рассмотренных пределов следует таблица эквивалентных б.м.в. при :

; ; ;

; ; ,

где последнее соотношение следует из бинома Ньютона, но оно справед-ливо и для

Легко показать, что предел отношения б.м.в. не изменится при замене их эквивалентными б.м.в., что используется при вычислении пределов.

Пример 8.

Пример 9.

Лекция № 18. Тема 3: Непрерывность

3.1. Определение непрерывной функции

Пусть определена в некоторой . Близкая к ней другая точка из этой окрестности может быть представлена в виде , где называется приращением аргумента. у

Разность

называется приращением функции в

точке х ₀.

Определение 1. Функция назы-

вается непрерывной в точке х ₀, если

она определена в точке х ₀ и в некоторой х ₀ х

её окрестности и

. (1)

Преобразуем равенство (1)

откуда следует

. (2)

Так как и , то , и тогда формула (2) при-нимает вид

. (3)

Формула (3) является вторым эквивалентным определением непре-рывности функции в точке х ₀, которое можно сформулировать следующим образом:

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке х ₀, если она определена в этой точке и некоторой её окрестности, имеет предел при и этот предел равен значению функции в этой точке.

Определение 3. Функция , непрерывная во всех точках некоторого промежутка называется непрерывной на этом промежутке.

Пример 1. Доказать, что функция непрерывна в своей области определения.

Имеем , где . Тогда получим

Замечание 1. Аналогично можно доказать, что все основные элемен-тарные функции непрерывны в области своего определения.

3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Непрерывность элементарных функций

Используя теоремы 1-3 о пределах функции (п.2.5), можно доказать следующие теоремы:

Теорема 1. Сумма конечного числа непрерывных функций является непрерывной функцией.

Пусть функции непрерывны в точке х ₀ и

.

Тогда имеем

ч.т.д.

Теорема 2. Произведение конечного числа непрерывных функций является непрерывной функцией.

Доказательство аналогично.

Теорема 3. Частное двух непрерывных функций является непрерывной функцией, если знаменатель в рассматриваемой точке не равен нулю.

Доказательство аналогично.

Теорема 4. Пусть функция непрерывна в точке и ₀, а функция непрерывна в точке х ₀ и пусть . Тогда сложная функция непрерывна в точке х ₀.

Здесь была использована подстановка и условие непрерыв-ности функции в точке х ₀.

В результате доказательств этих теорем и непрерывности основных элементарных функций приходим к важной обобщающей теореме:

Теорема 5. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

3.3. Классификация точек разрыва функции

Определение 4. Если в точке х ₀ нарушается условие непрерывности функции , то функция называется разрывной в точке х ₀, а точка х ₀ - точкой разрыва функции.

Определение 5. Точка разрыва х ₀ называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции и .

Эти пределы могут быть как равными, так и неравными между собой. Разность называется скачком.

Схематичный вид функции в точке разрыва первого рода:

у

0 х ₀ х

Пример 2. Функции, имеющие разрывы первого рода:

; - целая часть числа х.

Замечание 2. Точку разрыва первого рода х ₀ иногда называют точкой устранимого разрыва, если , а не определена. В этом случае полагают и точка х ₀ становится точкой непрерывности.

Функция в этой точке имеет вид

у